宝くじの数学

宝くじ数学は、宝くじの当選確率や当選はずれ確率を計算するために使用されます。主に組み合わせ論、特に12倍法と非置換法に基づいています。また、宝くじの抽選で発生する偶然の一致、たとえば異なる抽選で同じ数字が出現するなどの分析にも使用できます。^[1]

典型的な 6/49 ゲームでは、各プレイヤーは 1 ～ 49 の範囲から 6 つの異なる数字を選択します。チケットの 6 つの数字が宝くじで引かれた数字と一致した場合、数字の順序に関係なく、チケットの所有者はジャックポットの当選者となります。これが発生する確率は 13,983,816 分の 1 です。

当選確率は次のように表すことができます。最初に抽選された数字が一致する確率は 49 分の 1 です。2 番目の数字の抽選になると、ボールは交換されずに抽選されるため、袋の中に残っているボールは 48 個だけです。したがって、この数字を予測できる確率は 48 分の 1 になります。

したがって、最初の数字を選ぶ 49 通りのそれぞれの方法に対して、2 番目の数字を選ぶ 48 通りの方法があります。つまり、 49 個の数字の中から正しい順序で抽出された 2 つの数字を正しく予測する確率は、49 × 48 分の 1 と計算されます。3 番目の数字を選ぶとき、数字を選ぶ方法は 47 通りしかありませんが、49 × 48 通りのいずれの方法でもこの時点で到達できた可能性があるので、49 個の数字の中から正しい順序で抽出された 3 つの数字を正しく予測する確率は、49 × 48 × 47 分の 1 です。これは、6 番目の数字が抽出されるまで続き、最終的な計算は 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 となり、これは49 の階乗を 43 の階乗で割ったもの、または FACT(49)/FACT(43)、あるいは単に PERM(49,6) と書くこともできます。 ${\displaystyle {49! \over (49-6)!}}$

608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 / 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 = 10068347520

これは 10,068,347,520 となり、上記の約 1,400 万よりもはるかに大きくなります。

Perm(49,6)=10068347520であり、49 nPr 6 =10068347520である。

しかし、6 つの数字の順序は配当には関係ありません。つまり、チケットに 1、2、3、4、5、6 の数字がある場合、1 から 6 までの数字がすべて引かれていれば、どの順序で出てきても当選です。したがって、6 つの数字の組み合わせが与えられた場合、6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6 !つまり、720 通りの順序で数字が引かれることになります。10,068,347,520 を 720 で割ると 13,983,816 となり、これは とも表記され、COMBIN(49,6)または49 nCr 6とも表記され、より一般的には次のように 表されます。${\displaystyle {49! \over 6!*(49-6)!}}$

${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(nk)!}}$ここで、n は選択肢の数、k は選択の数です。詳細については、二項係数と多項係数を参照してください。

この関数は、組み合わせ関数COMBIN(n,k)と呼ばれます。この記事の残りの部分では、表記法 を使用します。「組み合わせ」とは、抽選の順序に関係なく、選択された数字のグループを意味します。数字の組み合わせは通常、昇順で表示されます。最終的に抽選される 7 番目の数字、つまり予備またはボーナスは、最後に表示されます。 ${\displaystyle {n \choose k}}$

確率を計算する別の方法は、最初のボールが選ばれた6つのボールのうちの1つに対応する確率が6/49であること、2番目のボールが残りの選ばれた5つのボールのうちの1つに対応する確率が5/48であることなどに注意することです。これにより、最終的な式は次のようになります。

${\displaystyle {n \choose k}={49 \choose 6}={49 \over 6}*{48 \over 5}*{47 \over 4}*{46 \over 3}*{45 \over 2}*{44 \over 1}}$

7 番目のボールは予備ボールとして抽選されることが多く、過去には 6 つの数字をプレイして 5+1 の数字を正しく当てるチャンスは 2 度目のみでした。

与えられた結果を生み出す組み合わせの数を、可能な組み合わせの総数で割る必要があります (例: )。分子は、当選番号を選択する方法の数と、外れ番号を選択する方法の数を掛け合わせた数に相当します。 ${\displaystyle {49 \choose 6}=13,983,816}$

スコアnの場合(たとえば、3 つの選択肢が抽選された 6 つのボールのうち 3 つに一致する場合、n = 3)、6 つの当選番号からn 個の当選番号を選択する確率を表します。つまり、43 個の外れ番号から 6 - n 個の外れ番号が選ばれることになります。その結果となる組み合わせの総数は、前述のように、最初の番号に 2 番目の番号を掛けた数です。したがって、式は となります。 ${\displaystyle {6 \choose n}}$${\displaystyle {43 \choose 6-n}}$${\displaystyle {6 \choose n}{43 \choose 6-n} \over {49 \choose 6}}$

これは、すべての宝くじについて一般的な形式で次のように記述できます。

$${\displaystyle {K \choose B}{NK \choose KB} \over {N \choose K}}$$

ここで、は宝くじのボールの数、は 1 枚のチケットに含まれるボールの数、 は当選チケットに含まれるボールの数です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$

この式の一般化は超幾何分布と呼ばれます。

これにより、次の結果が得られます。

7番目の数字がボーナス番号として抽選された場合、49!/6!/1!/42!.=combin(49,6)*combin(49-6,1)=601304088通りの抽選結果が考えられます。

約 36.19 回の抽選で 1 回、6 個中 3 個以上のスコアが出ることが予想されます。少なくとも 1 回は 3/6 スコアが出るようにするには、163 通りの組み合わせの 6 個中 3 個ホイールが必要であることに注意してください。

1/p は、いくつかの異なる組み合わせが同時にプレイされると変化します。ジャックポットだけでなく、何かを獲得することが主な目的です。

ジャックポットを確実に当てる方法は 1 つしかありません。それは、すべての可能な数字の組み合わせに対して少なくとも 1 枚の宝くじを購入することです。たとえば、6/49 ゲームでジャックポットを確実に当てるには、13,983,816 枚の異なるチケットを購入する必要があります。

宝くじ組織は、ギャンブラーがそのような操作を実行できないようにするための法律、規則、および安全策を講じています。さらに、すべての可能な組み合わせを購入してジャックポットを獲得しただけでは、損益がゼロになるか利益が出ることが保証されるわけではありません。

が当選確率、チケットの費用、チケット入手費用（例：物流を含む）、運営にかかる1回限りの費用（運営の準備や実施など）である場合、ジャックポットには少なくとも ${\displaystyle p}$${\displaystyle c_{t}}$${\displaystyle c_{l}}$${\displaystyle c_{f}}$${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}}$

少なくとも損益分岐点に達するチャンスを得る。

上記の理論上の「損益分岐点の可能性」ポイントは、すべての宝くじ券に含まれる小当たりの合計によってわずかに相殺されます。 ${\displaystyle \sum _{i}{}m_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}m_{i}}$

それでも、上記の関係が満たされたとしても、損益がゼロになることは保証されません。配当はすべての賞品の当選券の数に依存し、その結果、 ${\displaystyle n_{x}}$

${\displaystyle {\frac {m_{j}}{n_{j}}}\geq c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}}$

おそらく唯一知られている成功した作戦^[2]では、作戦を実行するための閾値が、理由は不明だが、チケットのみのコストの3倍に設定されていた。

${\displaystyle m_{j}\geq 3\times {\frac {c_{t}}{p}}}$

つまり

${\displaystyle {\frac {n_{j}p}{c_{t}}}\left(c_{f}+{\frac {c_{t}+c_{l}}{p}}-\sum _{i}{}{\frac {m_{i}}{n_{i}}}\right)\ll 3}$

しかし、これで利益が出ないリスクがすべてなくなるわけではありません。作戦の成功は依然として多少の運に左右されます。さらに、ある作戦ではロジスティクスが失敗し、すべての組み合わせが獲得できませんでした。これにより、ジャックポットをまったく獲得できないリスクが加わりました。

多くの宝くじにはパワーボール（または「ボーナスボール」）があります。パワーボールがメインの宝くじとは異なる数字のプールから抽選される場合、オッズはパワーボールの数で乗算されます。たとえば、6 from 49 宝くじでは、パワーボールの数字が 10 個ある場合、スコア 3 とパワーボールを獲得するオッズは 56.66 × 10 分の 1、つまり 566.6 になります（確率を10 で割ると、正確な値 が得られます）。このようなゲームの別の例としては、ジャックポットのオッズが異なりますが、 メガミリオンズがあります。${\textstyle {\frac {8815}{4994220}}}$

メインの宝くじに別のボールプールから 1 つ以上のパワーボールが抽選される場合 (たとえば、EuroMillionsゲーム)、さまざまなパワーボールの一致スコアのオッズは、上記の「その他のスコア」セクションに示されている方法を使用して計算され (つまり、パワーボールはそれ自体がミニ宝くじのようなものです)、その後、必要なメインの宝くじスコアを達成するオッズが掛けられます。

パワーボールがメインの宝くじと同じ数字のプールから抽選される場合、特定の目標スコアに対して、当選組み合わせの数にはパワーボールが含まれます。カナダの宝くじに基づくゲーム（英国の宝くじなど）では、6 つのメインボールが抽選された後、同じボールのプールから追加のボールが抽選され、これがパワーボール（または「ボーナスボール」）になります。5 つのボールとボーナスボールが一致すると、追加の賞品が与えられます。上記の「その他のスコア」セクションで説明したように、1 つのチケットから 5 のスコアを獲得する方法の数は です。残りのボールの数は 43 で、チケットには一致しない数字が 1 つ残っているため、⁠${\textstyle {6 \choose 5}{43 \choose 1}=258}$1/43⁠これらの 258 通りの組み合わせのうち、次に抽選されるボール (パワーボール) に一致する組み合わせは258/43 = 6通りあります。したがって、スコア 5 とパワーボールを獲得するオッズは です。 ${\textstyle {6 \over {49 \choose 6}}={1 \over 2,330,636}}$

メインの 6 つのボールのうち 5 つが一致する 258 の組み合わせのうち、43 のうち 42 では残りの数字がパワーボールと一致しないため、パワーボールが一致せずにスコア 5 を獲得するオッズは になります。 ${\textstyle {{258\cdot {\frac {42}{43}}} \over {49 \choose 6}}={\frac {3}{166,474}}\approx 1.802\times 10^{-5}}$

同じ原理を使用すると、スコア 2 とパワーボールを獲得するオッズは、スコア 2 に、残りの 4 つの数字のうちの 1 つがボーナス ボールと一致する確率を掛けた値で、4/43になります。 なので、スコア 2 とボーナス ボールを獲得する確率は で、小数オッズではおよそ 81.2 分の 1 になります。 ${\textstyle {6 \choose 2}{43 \choose 4}=1,\!851,\!150}$${\textstyle 1,851,150\cdot {\frac {4}{43}}=172,\!200}$${\textstyle {\frac {172,200}{49 \choose 6}}={\frac {1025}{83237}}=1.231\%}$

ボールプールから 1 つのボーナスボールを選択して抽選する場合のボールのマッチングの一般的な公式は次のとおりです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\frac {{\frac {K-B}{N-K}}{K \choose B}{N-K \choose K-B}}{N \choose K}}}$$

ボールプールからボーナスボールがゼロの抽選でボールを一致させるための一般的な公式は次のとおりです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {N-K-K+B \over N-K}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

別のボールプールから 1 つのボーナスボールを選択して抽選でボールを一致させるための一般的な公式は次のとおりです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

別のボールプールからのボーナスボールなしの選択宝くじでボールを一致させるための一般的な公式は次のとおりです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {P-1 \over P}{K \choose B}{N-K \choose K-B} \over {N \choose K}}$$

少なくとも 1 枚のチケットが少なくとも 2 つの数字と一致することを保証するために購入する必要があるチケットの最小数を計算することは難しい (多くの場合未解決の) 問題です。90 個中 5 個を選ぶ宝くじでは、少なくとも 2 つの数字が一致するチケットを保証できる最小のチケット数は 100 です。^[3]

宝くじの抽選における偶然の一致は、しばしば私たちの想像力をかき立て、ニュースの見出しになることがあります。なぜなら、偶然の結果であるはずのものにパターンが浮かび上がるように見えるからです。たとえば、異なる抽選で同じ数字が繰り返し出現することは、一見、まったくの偶然とは考えにくいことです。たとえば、2009年9月6日、ブルガリアの全国6/49宝くじで49の中から4、15、23、24、35、42の6つの数字が抽選され、その次の9月10日の抽選でも同じ6つの数字が再び抽選されました。宝くじの数学は、これらの異常な出来事を分析するために使用できます^[1]。

離散 確率空間として、特定の宝くじの結果の確率は原子であり、つまりゼロより大きい。したがって、あらゆるイベントの確率は、イベントの結果の確率の合計です。これにより、情報理論から興味のある量を計算することが容易になります。たとえば、あらゆるイベントの情報量は、次の式で簡単に計算できます 。

$${\displaystyle \operatorname {I} (E):=-\log {\left[\Pr {\left(E\right)}\right]}=-\log {\left(P\right)}.}$$

特に、離散確率変数の結果 の情報量は ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}(x):=-\log {\left[p_{X}{\left(x\right)}\right]}=\log {\left({\frac {1}{p_{X}{\left(x\right)}}}\right)}.}$$

例えば、上記の例§49から6を選択することで勝つことは、ベルヌーイ分布に従うランダム変数であり、 ⁠${\displaystyle X}$1/13,983,816⁠勝つ可能性（「成功」） と で表します。勝つことの情報量は ${\textstyle X\sim \mathrm {Bernoulli} \!\left(p\right)=\mathrm {B} \!\left(1,p\right)}$${\textstyle p={\tfrac {1}{13,983,816}}}$${\textstyle q={\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}}$

$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}({\text{win}})=-\log _{2}{p_{X}{({\text{win}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {1}{13,983,816}}\approx 23.73725}$$シャノンまたは情報のビット。（用語の詳細な説明については 情報単位を参照してください。）失うことの情報量は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{X}({\text{lose}})&=-\log _{2}{p_{X}{({\text{lose}})}}=-\log _{2}\!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.0317\times 10^{-7}{\text{ shannons}}.\end{aligned}}}$$

宝くじの確率分布の情報エントロピーも、情報量の 期待値として簡単に計算できます。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {H} (X)&=\sum _{x}{-p_{X}{\left(x\right)}\log {p_{X}{\left(x\right)}}}\ &=\sum _{x}{p_{X}{\left(x\right)}\operatorname {I} _{X}(x)}\\&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \mathbb {E} {\left[\operatorname {I} _{X}(x)\right]}\end{alignedat}}}$$

多くの場合、宝くじで関心のあるランダム変数はベルヌーイ試行です。この場合、ベルヌーイエントロピー関数が使用されることがあります。6 -of-49宝くじの当選を表す を使用すると、上記の6-of-49のシャノンエントロピーは次のようになります。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log(p)-q\log(q)=-{\tfrac {1}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {1}{13,983,816}}-{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\log \!{\tfrac {13,983,815}{13,983,816}}\\&\approx 1.80065\times 10^{-6}{\text{ shannons.}}\end{aligned}}}$

• オイラーのジェノバ宝くじの分析 -収束（2010 年 8 月）、アメリカ数学協会
• 宝くじ数学 – INFAROM Publishing
• 13,983,816 と宝くじ – ジェームズ・クルーエット出演の YouTube ビデオ、Numberphile、2012 年 3 月