局所オイラー特性式

ガロアコホモロジーという数学の分野において、局所オイラー特性公式は、非アルキメデス局所体Kの絶対ガロア群G _Kの群コホモロジーのオイラー特性を計算する、ジョン・テイトによる結果である。

K を非アルキメデス局所体とし、 K ^{s を}Kの可分閉包とし、G _K  = Gal( K ^s / K ) をKの絶対ガロア群とし、H ⁱ ( K ,  M ) をMの係数を持つG _Kの群コホモロジーとする。G _Kのコホモロジー次元は 2 なので、^[1] i ≥ 3 に対してH ⁱ ( K ,  M ) = 0 となる 。したがって、オイラー特性はi  = 0, 1, 2 の群にのみ関係する。

M を有限位数mのG _K加群とする。M のオイラー特性は次のように定義される^[2 ]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{2}(K,M)}{\#H^{1}(K,M)}}}$

( i ≥ 3 のi番目のコホモロジー群は、 そのサイズがすべて 1 であるため、暗黙的に現れます)。

R をKの整数環とすると、テイトの結果は、m がKの標数と互いに素であれば、^[3]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=\left(\#R/mR\right)^{-1},}$

つまり、商環 R / mRの順序の逆です。

以下に挙げる2つの特別なケースを挙げる。Mの位数がKの剰余体の標数と互いに素であれば、オイラー標数は1である。Kがp進数Q _pの有限拡張であり、v _{p が}p進値を表す場合、

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=p^{-[K:\mathbf {Q} _{p}]v_{p}(m)}}$

ここで[ K : Qp ]はKの_Qp上_の次数です。

オイラー特性は、局所テイト双対性を用いて次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{0}(K,M^{\prime })}{\#H^{1}(K,M)}}}$

ここでM ^′はMの局所Tate双対である。

• ミルン、ジェームズ S. (2006)、算術双対定理 (第 2 版)、サウスカロライナ州チャールストン: BookSurge, LLC、ISBN 1-4196-4274-X, MR  2261462 , 2010-03-27取得
• Serre、Jean-Pierre (2002)、ガロア コホモロジー、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-42192-4、MR  1867431、 Cohomologie Galoisienneの翻訳 、Springer-Verlag 講義ノート 5 (1964)。