相関図

データ分析において、相関図は相関統計のグラフです。たとえば、時系列分析では、サンプルの自己相関と(時間差)をプロットしたものが自己相関図です。相互相関をプロットすると、その結果は相互相関図と呼ばれます。 ${\displaystyle r_{h}\,}$${\displaystyle h\,}$

相関図は、データ セット内のランダム性をチェックするためによく使用されるツールです。ランダムな場合、すべての時間差の分離において自己相関はほぼゼロになります。ランダムでない場合は、1 つ以上の自己相関が著しくゼロ以外になります。

さらに、相関図は、Box-Jenkins自己回帰移動平均時系列モデルのモデル識別段階で使用されます。ランダム性については、自己相関はほぼゼロである必要があります。アナリストがランダム性をチェックしないと、多くの統計的結論の妥当性が疑わしくなります。相関図は、このようなランダム性をチェックする優れた方法です。

多変量解析では、カラーマップ画像として表示される相関行列は、「相関図」または「相関グラム」とも呼ばれる。^{[1] [2] [3]}

相関図は以下の質問に答えるのに役立ちます。^[4]

• データはランダムですか?
• 観察は隣接する観察と関連していますか?
• 観察結果は 2 回離れた観察結果と関連していますか? (など)
• 観測された時系列はホワイトノイズですか?
• 観測された時系列は正弦波ですか?
• 観測された時系列は自己回帰的ですか?
• 観測された時系列に適したモデルは何ですか?
• モデルは

${\displaystyle Y={\text{定数}}+{\text{誤差}}}$

有効かつ十分ですか?

• この式は有効ですか?${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

ランダム性 (固定モデル、固定変動、固定分布とともに) は、すべての測定プロセスの基礎となる 4 つの仮定のうちの 1 つです。ランダム性の仮定は、次の 3 つの理由から非常に重要です。

• ほとんどの標準的な統計テストはランダム性に依存します。テストの結論の妥当性は、ランダム性の仮定の妥当性に直接関連しています。
• 一般的に使用される多くの統計式はランダム性の仮定に依存しており、最も一般的な式はサンプル平均の標準誤差を決定する式です。

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

ここで、s はデータの 標準偏差です。この式は頻繁に使用されますが、ランダム性の仮定が成り立たない限り、この式を使用した結果は価値がありません。

• 単変量データの場合、デフォルトのモデルは

${\displaystyle Y={\text{定数}}+{\text{誤差}}}$

データがランダムでない場合、このモデルは不正確かつ無効となり、パラメータ（定数など）の推定値は無意味かつ無効になります。

ラグhにおける自己相関係数は次のように与えられる 。

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$

ここで、c _{h は}自己共分散関数である。

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

そしてc _{0 は}分散関数である

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

結果として得られるr _hの値は-1 から +1 の範囲になります。

一部の情報源では、自己共分散関数に次の式が使用される場合があります。

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N-h}}\sum _{t=1}^{N-h}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

この定義はバイアスが少ないものの、(1/ N )定式化には望ましい統計特性がいくつかあり、統計文献で最も一般的に使用されている形式です。詳細については、Chatfieldの20ページと49～50ページを参照してください。

上の定義とは対照的に、この定義ではもう少し直感的な方法で計算することができます。 のサンプル を考えてみましょう。ここでです。次に、 ${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{N}}$${\displaystyle Y_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle i=1,\dots ,N}$

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}Y_{1}-{\bar {Y}}&\cdots &Y_{N}-{\bar {Y}}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n\times N}}$

次に、グラム行列 を計算します。最後に、は の 番目の対角線の標本平均として計算されます。たとえば、 の番目の対角線 (主対角線) には要素があり、その標本平均は に対応します。の 番目の対角線 (主対角線の右側) には要素があり、その標本平均は に対応します。以下同様に 続きます。${\displaystyle Q=X^{\top }X}$${\displaystyle c_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle c_{1}}$

同じグラフで、有意水準を持つ自己相関の上限と下限を描くことができます。 ${\displaystyle \alpha \,}$

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})\,}$をラグにおける推定自己相関として用います。${\displaystyle r_{h}\,}$${\displaystyle h\,}$

自己相関がこの上限（下限）より高い（低い）場合、特定のラグおよびそれ以降では自己相関が存在しないという帰無仮説は有意水準 で棄却されます 。この検定は近似検定であり、時系列がガウス分布であると仮定します。 ${\displaystyle \alpha \,}$

上記において、z _{1− α /2は}正規分布の分位数であり、SEは標準誤差であり、 MA( ℓ )プロセスに対するバートレットの式によって計算できる。

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$のために${\displaystyle h>1.\,}$

プロットされた例では、最大 4 つのラグで分離された時点間には自己相関がないという帰無仮説を棄却できます。ほとんどのより長い期間では、自己相関がないという帰無仮説を棄却することはできません。

信頼帯を生成するための 2 つの異なる式があることに注意してください。

1. 相関図をランダム性のテストに使用する場合（つまり、データに時間依存性がない場合）、次の式が推奨されます。

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

ここで、Nはサンプル サイズ、z は標準正規分布の分位関数、α は有意水準です。この場合、信頼帯の幅はサンプル サイズに応じて固定されます。

2. 相関図は、 ARIMAモデルを適合するためのモデル識別段階でも使用されます。この場合、データに対して 移動平均モデルが想定され、次の信頼帯が生成されます。

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

ここで、kはラグです。この場合、ラグが増加すると信頼帯も増加します。

相関図は、ほとんどの汎用統計ライブラリで利用できます。

相関図:

• python パンダ: pandas.plotting.autocorrelation_plot^[5]
• R : 関数acfとpacf

コラージュ:

• python シーボーン: heatmap、pairplot
• R : corrgram^{[2] [3]}

• 偏自己相関関数
• ラグプロット
• スペクトルプロット
• 季節サブシリーズプロット
• スケール相関
• バリオグラム

• Hanke, John E.; Reitsch, Arthur G.; Wichern, Dean W. Business Forecasting (第 7 版)。アッパー サドル リバー、ニュージャージー: Prentice Hall。
• Box, GEP; Jenkins, G. (1976).時系列分析: 予測と制御. Holden-Day.
• Chatfield, C. (1989).時系列分析入門（第 4 版）. ニューヨーク、ニューヨーク: Chapman & Hall.

• 自己相関プロット

 この記事には、国立標準技術研究所の パブリックドメイン資料が組み込まれています。