カルノー群

数学において、カルノー群は、単連結な 冪零 リー群およびそのリー代数の導出であり、固有値 1 の部分空間がリー代数を生成する。この固有空間に関連付けられた接束の部分束は水平と呼ばれる。カルノー群上で、水平部分束上の任意のノルムからカルノー–カラテオドリ計量が生じる。カルノー–カラテオドリ計量には計量の拡大があり、有限生成冪零群および冪零リー群の漸近錐 (超極限を参照) であるほか、部分リーマン多様体の接錐でもある。

カルノー（または層状）群は、連結、単連結、有限次元リー群であり、そのリー代数は層状化を許容する。つまり、次のような 非自明な線型部分空間が存在する。${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{k}}$、および の場合。${\displaystyle [V_{1},V_{i}]=V_{i+1}}$${\displaystyle i=1,\cdots ,k-1}$${\displaystyle [V_{1},V_{k}]=\{0\}}$

この定義は、最初の層がリー代数全体を生成することを意味することに注意してください。 ${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

指数写像はから への微分同相写像です。これらの指数座標を使用して、 （ここで、）と同一視できます。この演算は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式によって与えられます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\star )}$${\displaystyle n=\dim V_{1}+\cdots +\dim V_{k}}$${\displaystyle \star}$

要素を次のように 記述する方が便利な場合もあります。${\displaystyle z\in G}$

${\displaystyle z=(z_{1},\cdots ,z_{k})}$とfor を組み合わせます。${\displaystyle z_{i}\in \mathbb {R} ^{\dim V_{i}}}$${\displaystyle i=1,\cdots ,k}$

その理由は、 には次のよう な固有の膨張演算があるからである。${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta _{\lambda }:G\to G}$

${\displaystyle \delta _{\lambda }(z_{1},\cdots ,z_{k}):=(\lambda z_{1},\cdots ,\lambda ^{k}z_{k})}$。

実ハイゼンベルク群は、リーマン幾何学におけるユークリッド空間として、サブリーマン幾何学における平坦なモデルとして見ることができるカルノー群です。エンゲル群もカルノー群です。

カルノー群は、ピエール・パンス (1982、1989) とジョン・ミッチェル (1985)によってその名前で導入されました。ただし、この概念は、ジェラルド・フォランド (1975) によって、層別群という名前で以前に導入されました。

• パンス導関数、パンス (1989) によって導入されたカルノー群の導関数

• Folland、Gerald (1975)、「零能リー群の準楕円推定と関数空間」、Arkiv för Matematik、13 (2): 161–207、Bibcode :1975ArM....13..161F、doi : 10.1007/BF02386204、S2CID  121144337
• ミッチェル、ジョン (1985)、「カルノー-カラテオドリ計量について」、微分幾何学ジャーナル、21 (1): 35–45、doi : 10.4310/jdg/1214439462、ISSN  0022-040X、MR  0806700
• Pansu、Pierre (1982)、Géometrie du groupe d'Heisenberg、論文、パリ第 7 大学{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Pansu、Pierre (1989)、「Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un」、Annals of Mathematics、129 (1): 1–60、doi :10.2307/1971484、JSTOR  1971484、MR  0979599
• アンドレ・ベライシュ。リスラー、ジャン＝ジャック編。 （1996年）。サブリーマン幾何学。数学の進歩。 Vol. 144. バーゼル：ビルクホイザー・フェルラーク。土井：10.1007/978-3-0348-9210-0。ISBN 978-3-0348-9946-8. MR  1421821。