内包論理

内包論理は述語論理へのアプローチであり、宇宙の個体に及ぶ量指定子 (外延) を持つ一階述語論理を、そのような個体を値として持つ可能性のある項に及ぶ追加の量指定子(内包) によって拡張する。内包エンティティと外延エンティティの区別は、意味と指示の区別に平行している。

論理学は、言語に表れる証明と演繹の研究です（根底にある心理的または生物学的プロセスは抽象化します）。 ^[1]論理学は閉じた完成された科学ではなく、おそらく発展が止まることはありません。論理的分析は、言語のさまざまな深みに入り込むことができます^[2]（文を原子とみなしたり、文を個々の用語に適用される述語に分割したり、さらには様相、時間、動的、認識論などの微細な論理構造を明らかにしたりします）。

論理学は、その特別な目的を達成するために、基礎となる自然言語を直接利用することから切り離された、独自の形式的なツール、特に独自の文法を開発せざるを得ませんでした。^[3] 関数子（機能語とも呼ばれる）は、論理文法で最も重要なカテゴリ（文や個体名などの基本カテゴリと並んで）に属します。^[4]関数子は、引数を埋める場所がある「不完全な」式と見なすことができます。適切な部分式でそれらを埋めると、結果として得られる完全に完成した式は、結果、つまり出力と見なすことができます。^[5]したがって、関数子は関数記号のように機能し、^[6]入力式を受け取り、新しい出力式を生成します。^[5]

意味論は言語表現を外界と結び付ける。論理意味論も独自の構造を発展させてきた。表現には基本カテゴリにおける意味値が帰属する。個々の名前（それによって名付けられた「指定された」オブジェクト）の参照はその拡張と呼ばれる。文に関しては、その真理値が拡張である。^[7]

関数については、単純なものもあれば単純なものもあります。関数に拡張を単純な方法で付与できるものもあるのです。いわゆる拡張関数の場合、ある意味では入力と出力の「物質的」部分を抽象化して、関数を入力の拡張を直接出力の拡張に変換する関数と見なすことができます。もちろん、そのようなことが可能なことが前提です。入力式の拡張によって、結果の式の拡張が決まります。この前提が成り立たない関数は、内包的と呼ばれます。^[8]

自然言語には内包的関数が豊富にある。^[9]これは内包文によって例証できる。外延論理では言語のそのような細かい論理構造の内部には到達できず、より粗いレベルで止まる。そのような深い論理分析の試みは古くから行われており、アリストテレスのような初期の著者たちはすでに様相三段論法を研究していた。^[10] ゴットロープ・フレーゲは一種の2次元意味論を開発した。内包文のような問題を解決するために、フレーゲは2つの意味値の区別を導入した。文（および個々の項）は外延と内包の両方を持つ。^[6]これらの意味値は関数についても解釈、転送できる（内包関数は内包のみを持つ）。

すでに述べたように、今日では内包論理に属する問題を解決しようとする動機は、長い歴史を持っています。形式化の試みに関しては、計算の発展は、対応する形式意味論の発見に先行することがよくあります。内包論理だけがそうではありません。ゴットロープ・フレーゲも彼の（外延的）計算に意味論的動機の詳細な説明を添えましたが、その意味論の形式的な基礎は20世紀になって初めて現れました。したがって、内包論理の発展の歴史では、外延論理の発展の歴史と同様に、同様のパターンが繰り返されることがあります。^[11]

共通言語を完全に分析すると主張する内包論理システムがいくつかあります。

• 透明な内包論理
• 様相論理

様相論理は歴史的に内包論理の研究における最も古い分野であり、もともと「必然性」と「可能性」を形式化することに動機づけられていた（最近では、この本来の動機は様相論理の多くの分野のうちの1つである論理論理に属している）。 ^[12]

様相論理は、そのような研究の最も単純な現れとも見なすことができます。様相論理は、外延論理をいくつかの文関数だけで拡張します。[ ^{13]これらは内包的であり、（意味論の}メタルールでは）可能世界に対する量化として解釈されます。たとえば、必然性演算子（「ボックス」）を文Aに適用すると、「文「（「ボックス」）A」が世界iで真であるのは、世界iからアクセス可能なすべての世界で真である場合に限ります」と言います。対応する可能性演算子（「ダイヤモンド」）をAに適用すると、「（「ダイヤモンド」）A」が世界iで真であるのは、世界iからアクセス可能ないくつかの世界（少なくとも1つ）でAが真である場合に限ります。したがって、これらの主張の正確な意味内容は、アクセス可能性関係の性質に大きく依存します。たとえば、世界iはそれ自体からアクセス可能でしょうか？この質問に対する答えはシステムの正確な性質を特徴づけるものであり、道徳的および時間的な質問に答える多くの答えが存在する（時間システムでは、アクセス可能性関係は状態または「瞬間」を関連付け、特定の瞬間から未来のみにアクセス可能である。必然性演算子は、この論理における「すべての将来の瞬間について」に対応する。演算子は、存在量指定子と全称量指定子を関連付ける双対性と同様の双対性によって互いに関連付けされている^[14]（たとえば、ド・モルガンの法則の類似の対応物によって）。すなわち、あるものは、その否定が不可能な場合、すなわち矛盾する場合に限り必要である。統語的には、演算子は量指定子ではなく、変数をバインドせず、^{[15]文全体を制御します。これにより、}参照の不透明性の問題、すなわち様相コンテキスト上または「様相コンテキスト内」の量化の問題が発生します。演算子は文法では文関数として現れ、 ^[14]様相と呼ばれます。オペレーター^[15 ]

前述のように、様相論理の先駆者としてはアリストテレスがいる。中世の学術的議論はその発展に伴って起こった。例えば、 de re様相とde dicto様相についてである。最近の言葉で言えば、de re様相では様相関数が開文に適用され、変数は範囲に内包的部分項全体を含む量指定子によって束縛される。^[10]

現代様相論理はクラレンス・アーヴィング・ルイスから始まった。彼の研究は厳密な含意の概念を確立することに動機づけられた。^[16]可能世界アプローチは意味論的問題に対するより正確な研究を可能にした。正確な形式化はクリプキ意味論（ソール・クリプキ、ヤッコ・ヒンティッカ、スティグ・カンガーによって開発）をもたらした。 ^[13]

1951年にすでにアロンゾ・チャーチは内包的計算を開発していた。意味論的動機は表現豊かに説明されていたが、もちろん当時はまだ発明されていなかったため、現在様相論理の意味論を形式的に確立するために使用されているツールは使われていなかった。^[17]チャーチは形式的な意味定義を提供しなかった。^[18]

その後、意味論に対する可能世界アプローチは、内包的意味論の包括的な研究のためのツールを提供した。リチャード・モンタギューは、チャーチの内包的計算の最も重要な利点を彼のシステムに保存することができた。その先駆者とは異なり、モンタギュー文法は純粋に意味論的な方法で構築された。チャーチの研究以降に発明された新しい形式ツールのおかげで、より単純な処理が可能になった。^[17]

• 拡張性
• フレーゲ・教会の存在論
• クリプキ意味論
• 温度パラドックス
• 関連性

• Melvin Fitting (2004)。第一階内包論理。Annals of Pure and Applied Logic 127:171–193。この記事では、Wayback Machineに 2008-07-04 にアーカイブされた 2003 年のプレプリントが使用されています。
• メルビン・フィッティング (2007)。内包論理。スタンフォード哲学百科事典。
• Ruzsa、Imre (1984)、Klasszikus、modális és intenzionális logika (ハンガリー語)、ブダペスト: Akadémiai Kiadó、ISBN 963-05-3084-8タイトルの翻訳：「古典的、様相的、内包的論理」。
• Ruzsa、Imre (1987)、「Függelék. Az utolsó két évtized」、Kneale、William; Kneale、Martha (編)、A logika fejlődése (ハンガリー語)、ブダペスト: ゴンドラ、695–734 ページ、ISBN 963-281-780-X原文：「論理学の発展」。ハンガリー語版にのみ掲載されている、ルザによる付録のタイトルの翻訳：「過去 20 年間」。
• Ruzsa、Imre (1988)、Logikai szintaxis és szemantika (ハンガリー語)、vol. 1、ブダペスト: Akadémiai Kiadó、ISBN 963-05-4720-1タイトルの翻訳：「論理の構文と意味論」。
• Ruzsa、Imre (1989)、Logikai szintaxis és szemantika、vol. 2、ブダペスト: Akadémiai Kiadó、ISBN 963-05-5313-9。
• Ruzsa、Imre (2000)、Bevezetés a modern logikaba、Osiris Tankönyvek (ハンガリー語)、ブダペスト: Osiris、ISBN 963-379-978-3タイトルの翻訳：「現代論理学入門」。

• フィッティング、メルビン。「内包論理」。ザルタ、エドワード N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。