長方形のチャネル内の水圧ジャンプ

長方形チャネルでの跳水は、古典的跳水とも呼ばれ、流れが超臨界から亜臨界に変化するたびに発生する自然現象です。この遷移では、水面が急激に上昇し、表面ローラーが形成され、激しい混合が発生し、空気が巻き込まれ、多くの場合、大量のエネルギーが消散します。標準ステップ法またはHEC-RAS を使用して作成された数値モデルは、超臨界および亜臨界の流れを追跡し、特定の範囲のどこで跳水が形成されるかを判断するために使用されます。

家庭用シンクの使用時など、日常的な状況でよく発生する水跳びがあります。また、堰や水門などの装置によって作り出される人工の水跳びもあります。一般的に、水跳びはエネルギーを消散させたり、化学物質を混ぜたり、曝気装置として機能させたりするために使われます。^{[1] [2]}

跳躍を記述する方程式を作成するには、エネルギー損失が不明であるため、運動量保存則を適用する必要があります。^[3]この方程式を展開するには、上流と下流の間でエネルギー損失がある場合とない場合があり、抗力P _{f が}発生する障害物がある場合とない場合がある一般的な状況が考慮されます。ただし、単純または古典的な跳躍の場合、単位幅あたりの力(P _f )は0に等しくなります。そこから運動量方程式と共役深度方程式を導き出すことができます。

超臨界流の深さ y _{1は、その亜臨界共役深さ y 2}まで「ジャンプ」し、この流れの状態の急激な変化の結果として、かなりの乱流とエネルギー損失 E _{L が}発生します。^[4] 図1は、典型的なジャンプ特性の概略図を示しています。ここで、E ₁は上流流のエネルギー、E ₂は下流流のエネルギー、L _{j は}ジャンプの長さです。図1に示すように、 一連の小さな表面ローラーが定在波に形成されます。

図1. 油圧ジャンプの全体図

水跳びは、家庭用シンクの使用時など、日常生活でよく発生します。水跳びは、流入する水を囲む円形の定常波の形で見られます。水跳びは、一見静止している水が乱流になる点で発生します。水がシンクに当たると、水は分散し、臨界半径まで深さが増します。臨界半径では、流れ (深度が低く、速度が高く、フルード数が1 より大きい超臨界) が、運動量を保存することが知られている、より大きな亜臨界深度 (深度が高く、速度が低く、フルード数が 1 未満) に突然ジャンプする必要があります。

図2. シンク内で乱流跳水を発生させる（左）、粘性跳水により高度な形状を作り出す（右）（画像提供：ジョン・ブッシュ、MIT）^[5]

跳水は人工的に作られることもあります。図 2 に示すように、科学者は跳水に対する粘性の影響を実験し、安定した非対称形状を作り出すことに成功しています。 ^{[6]より実用的な用途では、跳水は}浸食防止 などの特定の目的で環境内に作られます。川床の浸食は、堆積物の輸送につながる高速水流によって引き起こされることがよくあります。このプロセスは、跳水を導入して川床への流れの速度を低下させることで防止できます。これらの場合、跳水は、乱流が川に入る堰や水門などの装置によって生成されることがよくあります。溶液中の化学成分の混合は、跳水のもう 1 つの実用的な用途です。跳水を導入すると、流れの乱流が急速に増加し、追加のメカニズムを使用せずに成分を十分に混合できます。廃水業界では、溶液を混合する方法として跳水を使用することがあり、より高価な機械的混合システムを実装する必要性が最小限に抑えられます。

図3. ワシントン州リバーフロントパークの堰（左）と凝固室の水圧跳躍（右）

人工跳水装置のさらに別の用途は、エネルギー消散である。エネルギー消散用途の一例として、跳水静水池がある。これらの池では、水平および傾斜したエプロンを使用して、流入する水流のエネルギーの最大60％を消散させる。池にはシュートブロック、バッフル橋脚、歯付き端部などの装置が実装されており、エネルギー消散の有効性は流入する水流のフルード数に依存する。「跳水静水池は、断続的なキャビテーション、振動、隆起、流体力学的負荷などの乱流によって引き起こされる複雑さのため、通常、100メートルを超える落差を扱う場合には推奨されません。」^[7]ダムや堰 などの他の水力構造物も、下流域を洗掘または浸食する傾向がある乱流からの流入力を減らすために、これらの同じエネルギー消散原理を使用している。

図 4. ハルツ山脈のオカー川の開削出口の沈静盆地 (左) とオハイオ州コロンバスのグリッグスダムの沈静盆地 (右)

運動量は質量と速度の積として定義され、速度と同様にベクトルです。1600 年代初頭のフランスの科学者で哲学者のルネ デカルトが最初に運動量の概念を発見しましたが、運動量 (速度) は保存されないという点で行き詰まりました。オランダの科学者クリスティアーン ホイヘンスは、「運動量」は正の値である必要はなく、負の値は反対方向に動いていることを意味すると指摘しました。

mv = 運動量 = 質量 x 速度 [=] MLT ⁻¹

ρ = 密度 [=] ML ⁻³

q = Q'' / w = 単位幅あたりの流量 [=] L ² T ⁻¹

F _d = 摩擦抵抗による動力 [=] MLT ⁻²

P ₁ = 上流圧力 [=] ML ⁻¹ T ⁻²

P ₂ = 下流圧力力 [=] ML ⁻¹ T ⁻²

y ₁ = 上流深度 [=] L

y ₂ = 下流の深さ [=] L

F _r = フルード数 [無次元] [=] L ² T ⁻¹

h _j = 水跳高さ [=] L

M = 運動量関数（比力 + 運動量）[=] L ²

γ = 水の比重（9810 N/m ³） [=] ML ⁻² T ⁻²

モメンタム関数の基本原理は次のとおりです。

1. 運動量保存則は「外部のエージェントと相互作用しない閉じた物体のシステム全体の運動量は一定である」と述べ、
2. ニュートンの運動の法則は、特定の方向への力の合計は、その方向の質量と加速度の積に等しいと述べています。

${\displaystyle \sum F_{x}=\Delta (ma_{x})}$ ^{[説明が必要]}

${\displaystyle \sum F=\Delta m\times {\frac {dy}{dt}}}$= 質量の変化 × 速度の変化 ^[曖昧]

運動量 = mv

${\displaystyle \Delta mv=\Delta m\times {\frac {dy}{dt}}}$= 質量の変化 × 速度の変化

${\displaystyle \sum F_{x}=\Delta (mv_{x})}$

次の導出は、一定の幅を持つ長方形のチャネル内の単純な運動量保存跳水の運動量関数に対するものです。

1. 勢いの変化。
       ${\displaystyle \Delta (mv)(w)=\rho (Q)(v_{2}-v_{1})}$
2. wで割ってq を求めます。単位幅あたりの運動量の変化です。
       ${\displaystyle \Delta (mv)=\rho q(v_{2}-v_{1})}$
3. 流れの方向の力の合計。
   ${\displaystyle \sum F=P_{1}-P_{2}-F_{d}\qquad {\text{ここで}}P={\gamma \times y^{2} \over 2}}$
4. 力の合計は運動量の変化に等しくなります。
       ${\displaystyle {\gamma \times y_{1}^{2} \over 2}-{\gamma \times y_{2}^{2} \over 2}-F_{d}=\rho q(v_{2}-v_{1})}$
5. γで割ります。
     ${\displaystyle {y_{1}^{2} \over 2}-{y_{2}^{2} \over 2}-{F_{d} \over \gamma }={\rho \times q\times (v_{2}-v_{1}) \over \gamma }}$
6. 思い出してください${\displaystyle {\frac {1}{g}}={\rho \over \gamma }}$
     ${\displaystyle {y_{1}^{2} \over 2}+{qv_{1} \over g}={y_{2}^{2} \over 2}+{qv_{2} \over g}}$
7. M の方程式を取得するには、次のことを思い出してください。${\displaystyle v={\frac {q}{y}}}$
     ${\displaystyle M={y_{1}^{2} \over 2}+{q^{2} \over gy_{1}}={y_{2}^{2} \over 2}+{q^{2} \over gy_{2}}}$

共役深度とは、与えられた単位流量qに対して運動量関数が等しい 跳水上流深度 ( y ₁ ) と跳水下流深度 ( y ₂ ) のことです。跳水上流深度は常に超臨界で、跳水下流深度は常に亜臨界です。共役深度は、エネルギー保存の計算で使用される流れの代替深度とは異なることに注意することが重要です。

（１）運動量関数^[要出典]から始めて、位置１と位置２の間の運動量を等しくする：

${\displaystyle M={\frac {y_{1}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{1}}}={\frac {y_{2}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{2}}}}$

（２）q項を左へ、1/2項を右へ移動させて項を並べ替えると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right)}$

（３）次に、左辺の共通分母を得るために掛け算し、右辺を因数分解します。

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}}\right)={ \frac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})}$

(4) ( y ₂ − y ₁ )項は打ち消される:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{ただし }}q_{1}^{2}=y_{1}^{2}v_{1}^{2}=y_{2}^{2}v_{2}^{2}}$

（５） y ₁ ²で割る

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2y_{1}^{2}}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{recall }}Fr_{1}^{2}={\frac {v_{1}^{2}}{gy_{1}}}}$

（６）y ₂を掛けて右辺を展開する：

${\displaystyle Fr_{1}^{2}={\frac {y_{2}^{2}}{2y_{1}^{2}}}+{\frac {y_{2}}{2y_{1}}}}$

（７）y ₂ / y _1をxに代入すると、xに関する二次方程式が得られる。

${\displaystyle Fr_{1}^{2}={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 0={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}-Fr_{1}^{2}\qquad \Rightarrow 0=x^{2}+x-2Fr_{1}^{2}\qquad a=1,\;b=1,\;c=-2Fr_{1}^{2}}$

（８）二次方程式を用いると：

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {(1^{2})-4(1)(-2Fr_{1}^{2})}}}{2(1)}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$

以来：

${\displaystyle {\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}$肯定的でなければならない、

${\displaystyle x={\frac {-1-{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$負の数を生成します。

x は正の深さの比率を表すため、これは不可能です。${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$

（９）従って、定数y ₂ / y _1をxに代入すると共役深度方程式が得られる。

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle x={\frac {y_{2}}{y_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

与えられた条件:

長方形のチャネル

単位幅あたりの流量、q = 10 ft ² /s

深さ、y ₁ = 0.24 フィート

探す：

私の図と水圧ジャンプ後の深さ

解決：

跳水後の深さ y ₂ :

${\displaystyle (1)\quad y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

${\displaystyle (2)\quad Fr_{1}={\frac {v}{(gy_{1})^{1/2}}}={\frac {q}{y_{1}(gy_{1})^{1/2}}}}$

${\displaystyle (3)\quad Fr_{1}^{2}={\frac {q^{2}}{gy_{1}^{3}}}={\frac {(10)^{2}}{32.2*(0.24^{3})}}=224.65}$

${\displaystyle (4)\quad y_{2}={\frac {0.24}{2}}{\sqrt {1+8(224.65)}}-1=4.97\;ft}$

${\displaystyle (5)\quad M_{1}={\frac {(0.24)^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{g*(0.24)}}=13\;ft^{2}}$

${\displaystyle (6)\quad M_{2}={\frac {(4.97)^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{g*(4.97)}}=13\;ft^{2}}$

この例の My Diagram は、以下にプロットされています。My Diagram を作成するには、M の値を深さの関数としてプロットします。M は x 軸、深さはy 軸にとります。これは、深さによる運動量の変化を視覚化するのに自然に役立つためです。この例は、非常に基本的な跳水状況であり、流れは超臨界深さy ₁で近づき、その亜臨界共役深さy _{2に跳水して、所定の}流量qでチャネルを引き続き下降するために必要なエネルギーを得ます。

図6. 私の図

My Diagram は運動量保存のグラフィカルな表現で、跳水に適用して上流と下流の深さを見つけることができます。上記の例から、流れがy _{1の深さで超臨界に近づいていることがわかります。y} 1の亜臨界共役深さへの跳水があり、_{これは図 6 で}y ₂とラベル付けされています。図 6 は、同じ運動量で 2 つの深さが存在する様子を視覚化するのに役立ちます。

My ダイアグラムには、例 1 の情報に基づいて作成された図 6 にラベルが付けられている重要な場所がいくつかあります。最初の重要な場所は、図 6 で y _cおよび M _cでラベル付けされた臨界点です。臨界点は、単位幅あたりの特定のフローに対して利用可能な運動量関数の最小値qを表します。 q が増加すると、M 関数が右にわずかに上に移動し、臨界点でフローがより多くの運動量にアクセスできるようになります。したがって、 q 値が減少すると、M 関数が下と左に移動し、臨界値でフローに利用できる運動量が減少します。これは、下の図 7 にグラフィカルに示されています。

図7. 跳水上流と下流の深さに対するqの増加の影響

図 7 からは、流量qの増加がジャンプの上流と下流の深さにどのような影響を与えるかもわかります。流入流量 (図 7 の q = 10 ft ² /s から 30 ft ^{2 /s へ) が増加すると、ジャンプ後の超臨界アプローチ深度が増加し、亜臨界深度が減少します。これは、図 6 で y} _{1,q=30から y 1,q=10}への深度の減少と、 y _2,q=30と y _2,q=10の間の深度の増加によって確認できます。流量の変化による深度の変化のこの分析から、q = 10 ft ^{2 /s の値でのジャンプで失われるエネルギーは、q = 30 ft 2} / s でのジャンプで失われるエネルギーとは異なることも想像できます。これについては、セクション 5.1 でさらに説明します。

運動量は跳水全体で保存されますが、エネルギーは保存されません。流れが超臨界深度から亜臨界深度に跳水すると、最初にエネルギーが失われます。その結果生じるエネルギー損失は、跳水全体の比エネルギーの変化に等しく、以下の ΔE の式で表されます。以下の式は、y ₁と y ₂が共役深度である という条件に基づいています。

${\displaystyle \Delta E=E_{1}-E_{2}=\left(y_{1}+{\frac {q^{2}}{2gy_{1}^{2}}}\right)-\left(y_{2}+{\frac {q^{2}}{2gy_{2}^{2}}}\right)={\frac {(y_{2}-y_{1})^{3}}{4y_{1}y_{2}}}}$

My 図の臨界点と、その位置から跳水の性質についてわかることを見ると、q の増加が跳水時に失われるエネルギーに影響を与えることが分かりました。図 7 から、流量が増加すると跳水上流と下流の深さの差 ( y ₂ - y ₁ ) が減少することがわかります。このことから、運動量が一定に保たれると、流量が増加すると跳水時に失われるエネルギーが減少すると推測できます。

ジャンプの効率は、ジャンプが完了した後に元のエネルギーがどれだけ残っているかを示す無次元パラメータE ₂ /E _{1によって決定されます。} ^[8]エネルギー効率 の式は以下に示され、効率が上流の流れのフルード数に大きく依存していることを示しています。例2は、エネルギー損失と効率のサンプル計算を示しています。

${\displaystyle {E_{2} \over E_{1}}={(8Fr_{1}^{2}+1)^{3/2}-4Fr_{1}^{2}+1 \over 8Fr_{1}^{2}(2+Fr_{1}^{2})}}$

与えられた条件:

長方形チャネル

速度、v = 10 m/s

深さ、y ₁ = 0.5 m

探す：

水圧跳躍におけるエネルギー損失と効率

解決：

${\displaystyle (1)\;Fr_{1}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {10[m/s]}{\sqrt {9.81[m/s^{2}]*0.5[m]}}}=4.5}$

${\displaystyle (2)\;Fr_{1}>1\quad {\text{(supercritical flow)}}}$

${\displaystyle (3)\;y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)={\frac {0.5}{2}}\left({\sqrt {1+8*4.5^{2}}}-1\right)=2.94\;m}$

${\displaystyle (4)\;\Delta E={\frac {(y_{2}-y_{1})^{3}}{4y_{1}y_{2}}}={\frac {(2.94-0.5)^{3}}{4*2.94*0.5}}=2.47\;m}$

${\displaystyle (5)\;{\frac {E_{2}}{E_{1}}}={\frac {(8Fr_{1}^{2}+1)^{3/2}-4Fr_{1}^{2}+1}{8Fr_{1}^{2}(2+F_{1}^{2})}}={\frac {(8*4.5^{2}+1)^{3/2}-4*4.5^{2}+1}{8*4.5^{2}(2+4.5^{2})}}=0.55}$

${\displaystyle (6)\;\%{\text{ efficiency}}=0.55*100=55\%{\text{ efficient}}\,}$

跳水の長さは、ローラーや渦の形成に加えて、表面の乱流の突然の変化のために、現場や実験室での調査中に測定することが難しいことがよくあります。 ^[9] 跳水の長さは、沈殿池などの構造物の設計を検討する際に知っておくべき重要な要素であることがよくあります。

長さについて導出された式は実験データに基づいており、長さと上流のフルード数を関連付けます。

${\displaystyle (1)\;L=220\times y_{1}\times \tanh {\frac {Fr_{1}-1}{22}}}$^[10]

与えられた条件:

例2のデータを使用する

探す：

ジャンプの長さ

解決：

${\displaystyle (2)\;L=220*0.5*\tanh \left({\frac {4.5-1}{24}}\right)}$

${\displaystyle (3)\;\tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}\qquad {\text{if necessary, this is an alternate way to calculate }}\tanh(z)}$

${\displaystyle (4)\;z={\frac {4.5-1}{22}}=0.1591}$

${\displaystyle (5)\;\tanh(z)=0.1578}$

${\displaystyle (6)\;L=220*0.5*0.1578=17.4\;m}$

跳水の高さは長さと同様に、沈砂池や放水路などの水路構造物を設計するときに知っておくと便利です。跳水の高さは、跳水前と跳水後の流れの深さの差です。跳水の高さは、フルード数と上流エネルギーを使用して決定できます。

方程式:

${\displaystyle (1)\;h_{j}=y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle (2)\;y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

y ₂方程式をジャンプの高さの方程式に 代入します。

${\displaystyle (3)\;h_{j}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)-y_{1}}$

${\displaystyle (4)\;h_{j}={\frac {y_{1}{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-3y_{1}}{2}}}$

与えられた条件:

例2のデータを使用する

探す：

ジャンプの高さ

解決：

${\displaystyle (5)\;h_{j}={\frac {y_{1}{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-3y_{1}}{2}}}$

${\displaystyle (6)\;h_{j}={\frac {0.5{\sqrt {1+8(4.5)^{2}}}-(3*0.5)}{2}}}$

${\displaystyle (7)\;h_{j}=2.4\;m}$

水圧跳躍は、接近するフルード数Fr ₁に応じて、いくつかの異なる形態をとることができます。^[11]これらのタイプはそれぞれ、ローラーや渦の強さや形成など、独自の流れのパターンと流れの特性を持ち、ジャンプ中に発生するエネルギー散逸の量を決定するのに役立ちます。以下のジャンプタイプの説明は、フルード数の特定の範囲に基づいていますが、これらの範囲は正確ではなく、エンドポイントの近くで重なり合う可能性があります。

_{1 < Fr 1} < 1.7の場合、y ₁と y _{2 は}ほぼ等しく、非常に小さなジャンプしか発生しません。^[11]この範囲では、水面はわずかに波打つため、この範囲でのジャンプは波状ジャンプと呼ばれることもあります。これらの表面の瀬は、通常、エネルギーの消散が非常に少ないです。Fr _{1 が}1.7 に近づくと、ジャンプ位置の水面に小さな波がいくつか形成され始めますが、一般に下流の水面は比較的滑らかなままです。1.7 < Fr ₁ < 2.5 の間では、速度はジャンプの両側でほぼ均一のままであり、エネルギー損失は低いです。^{[11] [12] [13]}

振動ジャンプは、2.5 < Fr ₁ < 4.5 のときに発生する可能性があります。このジャンプ中、ジャンプの入り口の水のジェット（超臨界）は、不規則な周期でチャネルの底からチャネルの上部まで変動します。このジェットから発生する乱流は、ある瞬間にチャネルの底近くにあり、その後突然水面に移行します。このジェットの振動により不規則な波が形成され、ジャンプの下流に長距離伝播し、チャネルの堤防の損傷や劣化を引き起こす可能性があります。^{[11] [12] [13]}

フルード数がこの範囲に入ると、ジャンプは安定して同じ場所に形成される。安定したジャンプでは、乱流はジャンプ内に閉じ込められ、ジャンプの位置は4つの主要なジャンプの種類の中で下流の流れの条件の影響を受けにくい。安定したジャンプは一般的にバランスがよく、エネルギーの散逸は通常かなり大きい（45-70%）。^{[11] [12] [13]}

強いジャンプでは共役深度に大きな差があります。強いジャンプは、ジャンプ動作が非常に荒いため、エネルギー散逸率が高いのが特徴です。不規則な間隔で、ジャンプ面の前面を水塊が転がり落ちるのを見ることができます。これらの水塊は高速の超臨界ジェットに入り、ジャンプ中に追加の波を形成します。強いジャンプのエネルギー散逸は最大85％に達することがあります。^{[11] [12] [13]}

一般に、跳水は上流と下流の流れの深さが共役深度方程式を満たす場所で形成されます。ただし、下流制御などの水路内の条件によって、共役深度が形成される場所が変わる場合があります。放水深は水路内で跳水が発生する場所に非常に大きな影響を与える可能性があり、この深度が変化すると跳水が上流または下流にシフトする可能性があります。図 6 には、放水高 (y d ) の 3 つのシナリオが含まれています_{。y d は上流の流れの深さ (y 1} )の_共役深度₍ y 2 )_に 等しい_、 y _{d は}上流の流れの深 さ(y _{1 ) の共役深度 (y 2} ) よりも小さい、y _{d は}上流の流れの深さ (y 1 ) の共役深度 ( y ₂ ) よりも大きいです。3 つのケースすべてで上流深度 (y _{1 ) は}水門によって制御され、一定のままです。対応する共役深度（y ₂）は、各シナリオで破線で示されています。

最初の状況 (シナリオ A) では、ジャンプはエプロンで形成され、下流制御がない場合と同じになります。ただし、次のシナリオ (シナリオ B) では、下流の放水深に何らかの制御が課せられており、 y ₁の共役深度よりも小さくなっています。この場合、ジャンプは下流に移動し、上流の流れの深さ (y _{1 ') が新しい下流の}放水深 (y _d )の共役深度まで上昇したポイントで開始されます。この y ₁からy ₁ ' への上昇は、チャネルの摩擦抵抗によって発生し、速度が低下すると深度が増加します。この画像では、 y ₁ ' と y ₂ ' は跳水の共役深度を表し、 y _{2 ' は y d}の深度を想定しています。対照的に、3 番目の設定 (シナリオ C) では、放水位を元の共役深度よりも上の深度に強制する下流制御があります。ここでは、y _{d は}必要な深さよりも大きいため、ジャンプは上流に押し出されます。このシナリオでは、水門がジャンプの上流への移動を阻止し、上流の共役を達成できません。これにより、水没または溺死した水力ジャンプと呼ばれる状況が発生します。これらのシナリオは、尾水の役割がジャンプの形成と場所にどれほど影響を与えるかを示しています。^[12]

表1. 水圧跳躍の分類^[14]

上流フルード数と跳水点下流の流れの深さの関係を視覚的に理解するには、 y ₂ /y _{1 を}上流フルード数 Fr _{1に対してプロットすると便利です (図 8)。 y 2} /y ₁の値は、無次元跳水高を表す深さの比率です。たとえば、 y ₂ /y ₁ = 2 の場合、跳水により流れの深さが 2 倍になります。上流フルード数が増加すると (より超臨界流に近づくと)、下流深さと上流深さの比率も増加し、グラフは無次元跳水高と上流フルード数の間に正の線形関係があることを実証します。これは、より超臨界的な上流流 y _{1によって下流深さ y 2}が大きくなり、跳水も大きくなることを意味します。下の図 8 に示す関係は、q = 10 ft ² /sの水平長方形チャネル用に作成されたものです。このグラフは、跳水の性質上、次の制限を受けます。

1. y ₂ /y ₁ > 1: ジャンプの深さが増すため、y ₂ > y ₁

2. Fr ₂ < 1: 下流の流れは亜臨界でなければならない

3. Fr ₁ > 1: 上流の流れは超臨界でなければならない

表 2 は、図 8 を作成するために使用された計算値を示しています。ay ₁ = 1.5 フィートに関連付けられた値は、上記の制限に違反しているため、使用できません。上記の制限の頂点は、これらの値がすべて 1 に等しい臨界深度 y _{cで達します。ただし、y 1が y c}に等しい状況では、跳水は発生しません。

表2. 跳水深とフルード数の値

q = 10 フィート、g = 32.2 フィート/秒²、y _c = 1.46 フィート、y値はフィート単位

図8. 無次元ジャンプ高さと上流フルード数（この図は完全に正しいものではないことに注意してください。考慮される他の要因は幅と水流速度です。

このトピックの投稿は、2010 年秋学期のバージニア工科大学土木環境工学科のコース「CEE 5984 - 開水路の流れ」の要件を部分的に満たすために行われました。