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正則埋め込み潮流計算法（HELM）[注1 ]は、電力系統の潮流方程式を解くための手法です。その主な特徴は、直接的（つまり反復的ではない）であること、そして多値問題の正しい動作分岐を一貫して選択することを数学的に保証し、解が存在しない場合には電圧崩壊の状態を示すことです。これらの特性は、既存のオフラインおよびリアルタイムアプリケーションの信頼性にとって重要であるだけでなく、既存の反復潮流計算法では（収束問題のために）構築不可能な新しいタイプの分析ツールを可能にするという点でも重要です。その一例として、リアルタイムで検証済みの行動計画を提供する意思決定支援ツールが挙げられます。
HELM 負荷潮流計算アルゴリズムは、Antonio Trias によって発明され、2 つの米国特許を取得しています。[ 1 ] [ 2 ] 詳細な説明は、2012 年の IEEE PES General Meeting で発表され、その後出版されました。[ 3 ]この方法は、正則性、代数曲線の理論、解析接続などの複素解析 の高度な概念と結果に基づいています。ただし、数値実装は標準的な線形代数とPadé 近似を使用するため、比較的簡単です。さらに、計算の制限部分はアドミタンス行列の因数分解であり、これは一度だけ実行されるため、その性能は確立された高速分離負荷潮流計算と同等です。この方法は現在、産業レベルのリアルタイムおよびオフラインのパッケージ化されたEMSアプリケーションに実装されています。
潮流計算は電力系統解析における最も基本的な要素の一つであり、電力系統シミュレーションおよび管理で使用されるほぼすべてのツールの基礎となるものです。潮流方程式は、以下の一般的な形式で記述できます。
ここで、与えられた（複素）パラメータは、定電力負荷と発電機を表すアドミタンス行列 Y ik、バス並列アドミタンス Y i sh、およびバス電力注入S iです。
この非線形代数方程式系を解くために、従来型の潮流計算アルゴリズムが、3 つの反復手法に基づいて開発されました。 収束特性は劣るものの、メモリ要件が非常に少なく、実装が容易なGauss–Seidel 法[ 4 ]、高速 ( 2 次) 反復収束特性を持つものの計算コストが高い完全Newton–Raphson 法[ 5 ] 、そして Newton–Raphson 法に基づいているものの、ほとんどの送電網で有効なデカップリング近似によって計算コストを大幅に削減する高速デカップリング潮流計算 (FDLF) 法[ 6 ] です。他にも多くの改良が加えられていますが、それらすべての基礎となる手法は、依然として Gauss–Seidel 法または Newton 法のいずれかの反復ソルバーです。この種のすべての反復スキームには、2 つの根本的な問題があります。一方では、反復が常に解に収束するという保証はありません。一方、このシステムには複数の解が存在するため、[注2 ]どの解が選択されるかを制御することはできません。電力システムが電圧崩壊点に近づくにつれて、偽解が正しい解に近づき、ニュートン・フラクタル現象により、反復スキームはそれらの1つに容易に引き寄せられる可能性があります。ニュートン法を複素関数に適用すると、さまざまな解の吸引領域はフラクタル挙動を示します。[注3 ] その結果、反復の初期点（シード）が正しい解にどれだけ近くても、別の解に逸れる可能性は常にゼロではありません。反復潮流計算のこれらの根本的な問題は、これまで広く文書化されてきました。[ 7 ] 2バスモデルの簡単な図解は[ 8 ]に示されています。ある程度問題を軽減するホモトピック連続法は存在しますが、 [ 9 ]吸引領域のフラクタルな性質により、すべての電気シナリオに対して100%信頼できる方法は存在しません。
HELMの重要な差別化要因は、完全に決定論的かつ曖昧さがない点です。つまり、解が存在する場合には、常に正しい運用解に対応することが保証され、解が存在しない条件（電圧崩壊など）の場合には、解が存在しないことを通知します。さらに、計算コストの面でもFDNR法と遜色ありません。負荷潮流問題を数学的に厳密に扱うことで、従来の反復数値解法では得られなかった新たな知見をもたらします。
HELMは厳密な数学理論に基づいており、実際には以下のように要約できます。
HELMは、すべての反復潮流計算手法が抱える長年の問題、すなわち、正しい解（あるいはそもそも解）を見つけるための反復計算の信頼性の低さという問題に対する解決策を提供する。
このため、HELMはリアルタイムアプリケーションに特に適しており、緊急事態分析などの探索的アルゴリズムに基づくあらゆるEMSソフトウェアにとって必須であり、警報および緊急事態下では、運用制限違反の解決と復旧、および行動計画を通じたガイダンスの提供を行う。
本稿では議論の便宜上、制御の扱いについては省略するが、この手法はあらゆる種類の制御に対応可能である。これらの制御によって課される制約方程式に対しては、適切な正則埋め込みも定義する必要がある。
この方法は、複素パラメータsを用いた埋め込み技術を使用します。この方法の最初の重要な要素は、埋め込みが正則であることを要求することです。つまり、電圧Vの方程式系が、新しい複素変数sの正則関数(つまり複素解析関数) としてV (s ) を定義するような関数V(s)の方程式系に変換されます。目的は、 s = 1におけるV(s)の計算を可能にする解析接続のプロセスを使用できることです。方程式 ( 1 )を見ると、埋め込みが正則であるための必要条件は、埋め込みの下でV * がV * (s * )に置き換えられることであり、V * (s)ではありません。これは、複素共役自体が正則関数ではないためです。一方、V * (s * )への置き換えによって、方程式が正則関数V(s)を定義できることは容易にわかります。しかしながら、任意の埋め込みに対して、V(s)が正則であることを証明する必要性は依然として残っている。これらの点をすべて考慮すると、次のような埋め込みが提案される。
この選択では、s = 0 のとき右辺の項がゼロになります（分母がゼロでない場合）。これは、すべての注入量がゼロの場合に対応し、この場合はよく知られた単純な運用上の解決策があります。すなわち、すべての電圧が等しく、すべての流量強度がゼロになります。したがって、この埋め込み方法の選択は、s = 0 においてよく知られた運用上の解決策を提供します。
多項式系における変数消去の古典的な手法[ 10 ] (結果関数とグロブナー基底の理論からの結果)を用いると、方程式 ( 1 ) が実際にV(s) を正則関数として定義することが証明できます。さらに重要なことに、これらの方程式はV(s) を代数曲線として定義します。埋め込みが正則であるために真となるこの特定の事実が、結果の一意性を保証します。s =0での解は、(有限個の分岐切断を除いて) あらゆる場所で解を一意に決定し、それによって潮流問題の多価性を解消します。
電圧Vのべき級数展開 ( s = 0の場合) の係数を求める手法は、式 ( 2 )を次数ごとに使用して係数を求めることができると気づけば、非常に簡単です。 のべき級数展開を考えてみましょう。そして式（ １ ）に代入し、 s nの各次数における項を同一視すると、次の式が得られる。
すると、 n = 0から始めて、線形システム ( 2 )のシーケンスを次数ごとに順に解くのは簡単です。Vと1 /Vの展開の係数は、次の恒等式から導かれる単純な畳み込み公式によって関連付けられていることに注意してください。
したがって、（ 2 ）の右辺は常に前の次数でのシステムの解から計算できます。また、行列が一定のままの線形システムのみを解くことで、この手順がどのように機能するかにも注目してください。
この手順に関するより詳細な議論は参考文献[ 3 ]に記載されています。
s = 0におけるべき級数が所望の次数まで計算されると、s = 1におけるべき級数を計算する問題は解析接続の問題となる。これはホモトピー接続の手法とは全く異なるものであることを強く指摘しておく必要がある。ホモトピーは連続性の概念のみを使用するため、一般的な滑らかな非線形システムに適用可能であり強力であるが、一方で、関数を近似するための信頼できる方法を常に提供するとは限らない（ニュートン・ラフソン法などの反復スキームに依存しているため）。
代数曲線は完全なグローバル解析関数であることが証明されている[ 11 ]。つまり、ある点（いわゆる関数の芽）でのべき級数展開を知ることで、有限個の分岐切断を除いて、複素平面上のあらゆる場所で関数が一意に決定される。Stahlの極値領域定理[ 12 ]はさらに、関数の解析接続には最大領域が存在し、それは最小対数容量尺度を持つ分岐切断の選択に対応すると主張している。代数曲線の場合、切断の数は有限であるため、最小容量を持つ切断の組み合わせを見つけることで最大接続を見つけることが可能である。さらなる改善のために、パデ近似の収束に関するスタールの定理[ 13 ]は、対角および対角上パデ（または同等に、べき級数の連分数近似）が最大解析接続に収束することを述べている。近似の零点と極は、最小容量を持つ分岐切断の集合上に顕著に集中する。
これらの特性により、潮流計算法は電圧崩壊の状態を明確に検出する能力を持つ。すなわち、代数近似は、解が存在する場合は必ず収束し、解が存在しない場合は必ず収束しないことが保証される。
![{\displaystyle \textstyle V(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a[n]s^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e05d8c98b51ef024cc086aef8d35038b87eb9a)
![{\displaystyle \textstyle 1/V(s)=\sum _{n=0}^{\infty }b[n]s^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7143e5ca672d3fccc7e25eec8fc0c24b69318fa)