ヒルベルトの公理

ヒルベルトの公理は、デイヴィッド・ヒルベルトが1899年に著書『幾何学の基礎』^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}（英訳：The Foundations of Geometry ）の中で、ユークリッド幾何学の現代的な扱いの基礎として提案した20の仮定の集合である。ユークリッド幾何学の他の有名な現代的な公理化としては、アルフレッド・タルスキとジョージ・バーコフのものがある。

公理

ヒルベルトの公理系は、6 つの基本概念、3 つの基本項で構成されています。 ^{[ 5 ]}

ポイント（ラテン語の大文字で表されます） $A,B,C,\dots$ );
線（ラテン小文字で表される） $l,m,n,\dots$ );
平面（ギリシャ文字の小文字で表される） $\pi ,\rho ,\sigma ,\dots$ );

そして３つの基本的な関係：

$A\in l$ または $A\in \pi$ または $l\in \pi$ —関係（点が直線上にある、点が平面上にある、または直線が平面上にある）
$A*B*C$ —中間性、つまり $B$ の間にある $A$ そして $C$
${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$ —線分合同性、線分が $AB$ そして $CD$ 長さは同じです
$\angle ABC\cong \angle DEF$ —角度の合同、角度が等しいこと $ABC$ そして $DEF$ 同じ大きさである

線分、角、三角形はそれぞれ、包含関係と包含関係を用いて、点と直線によって定義することができる。以下の公理において、特に断りのない限り、すべての点、直線、平面は異なるものとする。

I. 発生率

任意の2点AとBに対して、両方を含む直線aが存在します。これをAB = aまたはBA = aと表記します。「含む」の代わりに、他の表現を用いることもできます。例えば、「Aはa上にある」、「Aはaの点である」、「aはAとBを通る」、「aはAとBを結ぶ」などです。Aがa上にあり、同時に別の直線b上にある場合は、「直線aとbは点Aを共通に持つ」などの表現も用います。
任意の2点に対して、それら両方を含む直線は1つしか存在しない。したがって、AB = aかつAC = a（ただしB ≠ C）であれば、 BC = aも成り立つ。
${\begin{aligned}(I_{1})&\quad \forall A\,\forall B\,(A\neq B\rightarrow \exists l\ (A\in l\wedge B\in l))\\[4pt]\end{aligned}}$
直線上には少なくとも2つの点が存在する。
${\begin{aligned}(I_{2})&\quad \forall l\,\exists A\,\exists B\,(A\neq B\wedge A\in l\wedge B\in l)\\[4pt]\end{aligned}}$
同一線上にない点が少なくとも３つ存在する。
${\begin{aligned}(I_{3})&\quad \exists A\,\exists B\,\exists C\ \neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)\\[4pt]\end{aligned}}$
同一直線上にない任意の3点A、B、Cに対して、それらすべてを含む平面αがただ1つ存在する。すべての平面には、その平面上にある点が存在する。ABC = αと表記する。また、「 A、B、Cはα上にある」、「A、B、Cはα上の点である」などの表現も用いる。
${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{4})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall C\,[\neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)\rightarrow \exists$
すべての平面には、同一線上にない3つの点A、B、Cが存在する。
${\begin{aligned}(I_{5})&\quad \forall \pi \,\exists A\,\exists B\,\exists C\,(A\in \pi \wedge B\in \pi \wedge C\in \pi \wedge \neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l))\\[4pt]\end{aligned}}$
直線 a 上の2点A、Bが平面α上にある場合、直線 a 上のすべての点はα上にある。この場合、「直線a は平面α上にある」などと言う。
${\begin{aligned}(I_{6})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall l\,\forall \pi \,[(A\neq B\wedge A\in l\wedge B\in l\wedge A\in \pi \wedge B\in \pi )\rightarrow l\in \pi ]\\[4pt]\end{aligned}}$
2つの平面αとβが共通の点Aを持つ場合、それらは少なくとも2つ目の点Bを共通に持つ。
${\begin{aligned}(I_{7})&\quad \forall \pi \,\forall \rho \,{\bigl (}\pi \neq \rho \wedge \exists P\,(P\in \pi \wedge P\in \rho )\rightarrow \exists l\,\forall P\,(P\in l\leftrightarrow (P\in \pi \wedge P\in \rho )){\bigr )}\\[4pt]\end{aligned}}$
平面上にない点が少なくとも4つ存在する。
${\begin{aligned}(I_{8})&\quad \exists A\,\exists B\,\exists C\,\exists D\ \neg \exists \pi \,(A\in \pi \wedge B\in \pi \wedge C\in \pi \wedge D\in \pi )\end{aligned}}$

II．中間性（順序）公理

点Bが点Aと点Cの間にある場合、B はCとAの間にもあり、異なる点A、B、Cを含む直線が存在する。
${\begin{aligned}(B_{1})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall C\,(A*B*C\rightarrow (C*B*A\wedge A\neq B\wedge B\neq C\wedge A\neq C\wedge \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)))\\[4pt]\end{aligned}}$
AとCが2点である場合、直線AC上に少なくとも1つの点Bが存在し、CはAとBの間にある。^[⁶^]
${\begin{aligned}(B_{2})&\quad \forall A\,\forall C\,(A\neq C\rightarrow \exists B\,(A*C*B))\\[4pt]\end{aligned}}$
直線上に位置する任意の３点のうち、他の２点の間にある点は１点以下である。^{[ 7 ]}
${\begin{aligned}(B_{3})&\quad \forall A,B,C\,({\text{exactly one of }}A*B*C,B*C*A,C*A*B)\end{aligned}}$
パッシュの公理：A、B、C を同一線上にない 3 つの点とし、a を平面ABC上にあり、点A、B、Cのいずれも通らない直線とする。このとき、直線a が線分AB上の点を通るならば、直線 a は線分BC上の点か線分AC上の点の 1つも通る。
${\begin{aligned}(B_{4})&\quad \forall A,B,C,l\,((A,B,C{\text{ non-collinear}})\wedge (l{\text{ intersects }}AB)\wedge \neg (l{\text{ passes through }}A,B,C))\\&\qquad \rightarrow (l{\text{ intersects }}AC\lor l{\text{ intersects }}BC))\end{aligned}}$

III. 一致

A、Bが直線a上の 2 点であり、A ′ が同じ直線 a′ 上または別の直線a ′上の点である場合、直線a ′ 上のA ′ の任意の辺上に、線分ABが線分A′B ′と合同となるような点B ′を必ず見つけることができます。この関係をAB ≅ A′B ′と表記します。すべての線分はそれ自身と合同です。つまり、常にAB ≅ ABとなります。上記の公理は、任意の直線上の任意の点の任意の辺上に、少なくとも 1 つの方法で任意の線分を配置できる、と簡潔に述べることができます。
${\begin{aligned}(C_{1})&\quad \forall A,B,A',B'\,\exists C'\,({\text{Ray}}(A',B',C')\wedge {\overline {AB}}\cong {\overline {A'C'}})\end{aligned}}$
線分AB が線分A ′ B ′ と合同であり、かつ線分A ″ B ″ とも合同である場合、線分A ′ B ′ は線分A ″ B ″ と合同です。つまり、AB ≅ A ′ B ′かつAB ≅ A ″ B ″であれば、A ′ B ′ ≅ A ″ B ″となります。
${\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B\,({\overline {AB}}\cong {\overline {AB}})\end{aligned}}$ （再帰）
${\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B,C,D\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {CD}})\rightarrow ({\overline {CD}}\cong {\overline {AB}}))\end{aligned}}$ （対称）
${\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B,C,D,E,F\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}\wedge {\overline {CD}}\cong {\overline {EF}})\rightarrow ({\overline {AB}}\cong {\overline {EF}}))\end{aligned}}$ （他動詞）
線分aの 2 つのセグメントABとBC は、点B以外に共通点を持たないものとします。さらに、同じ線分 a または別の線分a ′ の 2 つのセグメントA ′ B ′ とB ′ C ′ は、同様に、点B ′以外に共通点を持たないものとします。このとき、 AB ≅ A ′ B ′かつBC ≅ B ′ C ′であれば、 AC ≅ A ′ C ′となります。
${\begin{aligned}(C_{3})&\quad \forall A,B,C,A',B',C'\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {A'B'}}\wedge {\overline {BC}}\cong {\overline {B'C'}})\rightarrow {\overline {AC}}\cong {\overline {A'C'}})\end{aligned}}$
平面αにおいて角∠ ( h , k )が与えられ、平面α ′において直線a ′ が与えられているとします。また、平面α ′ において直線a ′ の特定の辺が指定されているとします。直線 a ′ 上の点O ′ から発する直線a ′ の半直線をh ′ とします。すると、平面α ′において、角∠ ( h , k )または∠ ( k , h )が角 ∠ ( h ′ , k ′)と合同であり、かつ角∠ ( h ′, k ′)のすべての内部点がa ′の指定された辺上にあるような半直線 k ′ がただ 1つだけ存在します。この関係を記号∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′ )で表します。
${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{4})&\quad \forall A,B,C,A',B'\,\exists$
角∠ ( h , k )が角∠ ( h ′, k ′)および角∠ ( h ″, k ″)と合同であれば、角∠ ( h ′, k ′)は角∠ ( h ″, k ″)と合同です。つまり、∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′)および∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″)であれば、∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″)です。
${\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C\,(\angle ABC\cong \angle ABC)\end{aligned}}$
${\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C,D,E,F\,((\angle ABC\cong \angle DEF)\rightarrow (\angle DEF\cong \angle ABC))\end{aligned}}$
${\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C,D,E,F,G,H,I\,((\angle ABC\cong \angle DEF\wedge \angle DEF\cong \angle GHI)\rightarrow \angle ABC\cong \angle GHI)\end{aligned}}$
2 つの三角形ABCとA ′ B ′ C ′において、 AB ≅ A ′ B ′、AC ≅ A ′ C ′、∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′の合同が成り立つならば、∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′の合同が成り立つ（そして、記号の変更により、∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′も成り立つことがわかる）。
${\begin{aligned}(C_{6})&\quad \forall A,B,C,A',B',C'\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {A'B'}}\wedge {\overline {AC}}\cong {\overline {A'C'}}\wedge \angle BAC\cong \angle B'A'C')\rightarrow (\angle {ACB}\cong \angle {A'C'B'}))\end{aligned}}$

IV. 類似点

ユークリッドの公理^{[ 8 ]}（プレイフェアの公理）：aを任意の直線とし、Aをその直線上にない点とする。このとき、平面上には、 aとAによって決定される直線で、 Aを通り、 aと交わらない直線が最大で1つ存在する。

${\begin{aligned}(P)\quad \forall A\,\forall l\ {\bigl (}A\notin l\rightarrow \exists !m\ &(A\in m\wedge \neg \exists P\,(P\in l\wedge P\in m)){\bigr )}.\end{aligned}}$

V. 継続性

アルキメデスの公理：ABとCDが任意の線分である場合、 AからBを通る光線に沿ってAから連続して構成されたn個の線分CDが点Bを越えるような数nが存在する。
線完全性の公理：線上の点の集合を、その順序と合同関係を維持しながら拡張（既に存在する線から拡張された線で、通常は幾何学で使用される）して、元の要素間に存在する関係と、公理 I-III および V-1 から導かれる線順序と合同の基本的性質を保持することは不可能である。

${\begin{aligned}(Ct)\quad &\forall l\ \forall X\subseteq \{P:P\in l\}\ \forall Y\subseteq \{P:P\in l\}\ {\Bigl [}\,X\neq \varnothing \wedge Y\neq \varnothing \wedge X\cup Y=\{P:P\in l\}\\&\qquad \wedge X\cap Y=\varnothing \wedge (\forall x\in X\ \forall y\in Y\ \neg \exists z\,[(z\in X\wedge x*y*z)\vee (z\in Y\wedge y*x*z)])\\&\qquad \longrightarrow \exists c\,(c\in l\wedge \forall x\in X\ \forall y\in Y\ (x*c*y\vee x=c\vee y=c))\,{\Bigr ]}\end{aligned}}$

ヒルベルトが放棄した公理

ヒルベルト（1899）は、次のような第21公理を含めた。

II.4.直線上の任意の4点A、B、C、Dは、常にBがAとCの間、かつAとDの間にあるようにラベル付けすることができ、さらにCはAとDの間、かつBとDの間にあるようにラベル付けすることができる。

この記述はパッシュの定理としても知られています。

EH ムーアとRL ムーアは独立してこの公理が冗長であることを証明し、前者は1902 年にアメリカ数学会の論文でこの結果を発表した。^{[ 9 ]}

これ以前は、現在II.4として記載されているパッシュの公理はII.5と番号付けされていた。

『Grundlagen der Geometrie』の版と翻訳

ヒルベルト自身の講義に基づいた原著は、1899年に行われた記念講演のためにヒルベルト自身が構成・執筆したものである。その後すぐにフランス語訳が出版され、ヒルベルトは第2章「完全性公理」を追加した。ヒルベルトの許可を得て、E・J・タウンゼントが英語訳を作成し、1902年に著作権を取得した。この英語訳はフランス語訳の変更点を取り入れており、第2版の翻訳とみなされている。ヒルベルトはその後も本文に修正を加え続け、ドイツ語版が複数出版された。第7版はヒルベルトの生前に出版された最後の版である。この版の序文でヒルベルトは次のように書いている。

「本書『幾何学の基礎』のこの第7版は、前版に比べて大幅な改良と加筆がなされており、その一部は私がこの主題に関して行ったその後の講義から得られたものであり、一部は他の著者がその間に加えた改良によるものです。本書の本文もそれに合わせて改訂されています。」

第7版以降、新版が刊行されたが、本文は基本的に改訂されなかった。これらの版における変更点は、付録や補遺にある。本文の変更は原文と比べて大きかったため、タウンゼント訳を出版していたオープン・コート出版社が新たな英語訳を依頼した。こうして、1971年にレオ・ウンガーがドイツ語第10版を基に英語第2版を翻訳した。この翻訳には、ポール・ベルネイズによる後のドイツ語版の改訂や加筆がいくつか盛り込まれている。

ウンガー訳は、タウンゼント訳と比べて、公理に関して以下の点で異なっている。

旧公理II.4は定理5と改名され、移動されました。
旧公理II.5（パッシュの公理）はII.4に番号が変更された。
V.2、線完全性の公理は以下を置き換えた：

完全性の公理。点、直線、平面からなる体系に、他の要素を追加しても、それによって一般化された体系が5つの公理群すべてを満たす新しい幾何学を形成することは不可能である。言い換えれば、5つの公理群が有効であるとみなすならば、幾何学の要素は拡張不可能な体系を形成する。

旧公理V.2は、現在定理32となっている。

最後の2つの修正はP.ベルネイズによるものです。

その他の注目すべき変更点は以下のとおりです。

タウンゼントが用いた「直線」という用語は、以降はすべて「線」に置き換えられています。
タウンゼントは、関連性の公理を「連結の公理」と呼んだ。

応用

これらの公理はユークリッド立体幾何学を公理化したものである。本質的に「平面」に言及している5つの公理、すなわちI.4～8を削除し、III.4とIV.1を修正して平面への言及を省略すると、ユークリッド平面幾何学の公理化が得られる。

ヒルベルトの公理は、タルスキの公理とは異なり、公理V.1-2が一階論理で表現できないため、一階理論を構成しない。

ヒルベルトの『基礎論』の価値は、実質的あるいは教育的な側面よりも方法論的な側面が強かった。幾何学の公理系へのその他の主要な貢献としては、モーリッツ・パッシュ、マリオ・ピエリ、オズワルド・ヴェブレン、エドワード・ヴァーミリイ・ハンティントン、ギルバート・ロビンソン、ヘンリー・ジョージ・フォーダーなどが挙げられる。 『基礎論』の価値は、公理の独立性を証明するためのモデルの使用や、公理系の一貫性と完全性を証明する必要性など、メタ数学的な問題に対する先駆的なアプローチにある。

20世紀の数学は、公理的な形式体系のネットワークへと発展した。これは、ヒルベルトが『基礎論』で示した例に大きく影響を受けた。しかし、2003年に（MeikleとFleuriotが）コンピュータを用いて『基礎論』を形式化しようと試みたところ、ヒルベルトの証明の一部は図や幾何学的直観に依存しているように見え、そのため定義に潜在的な曖昧さや欠落があることが明らかになった。^{[ 10 ]}

注記

↑ジュリアス・ゾマー（1900年）。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、Teubner、1899」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。6 (7): 287–299。土井: 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1。
↑ポアンカレ、アンリ(1903)。「ポアンカレによるヒルベルトの『幾何学の基礎』のレビュー、EV ハンティントン訳」（PDF）。Bull . Amer. Math. Soc . 10 : 1– 23. doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1。
↑シュバイツァー、アーサー・リチャード（1909年）。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、第 3 版、Teubner、1909 年」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。15 (10): 510–511。土井: 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2。
↑タイ王国グロンウォール(1919 年)。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、第 4 版、Teubner、1913 年」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。20 (6): 325–326。土井: 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9。
↑これらの公理とその番号は、 Grundlagen der Geometrie第 10 版の Unger による (英語への) 翻訳から引用されています。
↑タウンゼント版では、この記述は、点Aと点Dの間に点Cが存在する点Dが少なくとも 1 つ存在するという点も含まれている点で異なっており、これは後の版で定理となった。
↑存在部分（「少なくとも1つ存在する」）は定理です。
↑これはヒルベルトの用語です。この記述は、より一般的にはプレイフェアの公理として知られています。
↑ Moore, EH (1902)、「幾何学の射影公理について」（PDF）、アメリカ数学会紀要、3（1）：142–158、doi：10.2307/1986321、JSTOR 1986321
↑ 334ページ：「『イザベル／イザール』における基礎論を形式化することで、ヒルベルトの研究は推論の微妙な点を軽視し、場合によっては暗黙の仮定を可能にする図に大きく依存していたことが明らかになった。このため、ヒルベルトは多くの定理を証明するために、公理と幾何学的直観を織り交ぜていたと主張できる。」

参考文献

ハワード・イーブス、1997年（1958年）。数学の基礎と基本概念。ドーバー出版。第4.2章では、平面幾何学におけるヒルベルトの公理について解説しています。
アイヴァー・グラッタン＝ギネス、2000年。 『数学的根源の探求』プリンストン大学出版局。
デイヴィッド・ヒルベルト、1980年（1899年）。『幾何学の基礎』第2版。シカゴ：オープンコート。
Laura I. Meikle および Jacques D. Fleuriot (2003)、「Isabelle/Isar におけるヒルベルトの基本定理の形式化(2016 年 3 月 4 日にWayback Machineにアーカイブ) 」、高階論理における定理証明、Lecture Notes in Computer Science、第 2758 巻/2003、319-334 ページ、doi : 10.1007/10930755_21

外部リンク

「ヒルベルト公理系」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
UMBC数学科の「ヒルベルトの公理」は、 2013年12月13日にWayback Machineにアーカイブされました。
Mathworldの「ヒルベルトの公理」
LibriVoxで入手可能なパブリックドメインのオーディオブック「幾何学の基礎」

[1] ジュリアス・ゾマー（1900年）。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、Teubner、1899」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。6 (7): 287–299。土井: 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1。

[2] ポアンカレ、アンリ(1903)。「ポアンカレによるヒルベルトの『幾何学の基礎』のレビュー、EV ハンティントン訳」（PDF）。Bull . Amer. Math. Soc . 10 : 1– 23. doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1。

[3] シュバイツァー、アーサー・リチャード（1909年）。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、第 3 版、Teubner、1909 年」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。15 (10): 510–511。土井: 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2。

[4] タイ王国グロンウォール(1919 年)。「レビュー: Grundlagen der Geometrie、第 4 版、Teubner、1913 年」(PDF)。ブル。アメール。数学。社会。20 (6): 325–326。土井: 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9。

[5] これらの公理とその番号は、 Grundlagen der Geometrie第 10 版の Unger による (英語への) 翻訳から引用されています。

[6] タウンゼント版では、この記述は、点Aと点Dの間に点Cが存在する点Dが少なくとも 1 つ存在するという点も含まれている点で異なっており、これは後の版で定理となった。

[7] 存在部分（「少なくとも1つ存在する」）は定理です。

[8] これはヒルベルトの用語です。この記述は、より一般的にはプレイフェアの公理として知られています。

[9] Moore, EH (1902)、「幾何学の射影公理について」（PDF）、アメリカ数学会紀要、3（1）：142–158、doi：10.2307/1986321、JSTOR 1986321

[10] 334ページ：「『イザベル／イザール』における基礎論を形式化することで、ヒルベルトの研究は推論の微妙な点を軽視し、場合によっては暗黙の仮定を可能にする図に大きく依存していたことが明らかになった。このため、ヒルベルトは多くの定理を証明するために、公理と幾何学的直観を織り交ぜていたと主張できる。」

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ヒルベルトの公理

公理

I. 発生率

II．中間性（順序）公理

III. 一致

IV. 類似点

V. 継続性

ヒルベルトが放棄した公理

『Grundlagen der Geometrie』の版と翻訳

応用

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

デイヴィッド・ヒルベルト

『幾何学の基礎』

ユークリッド幾何学

公理化としては、