ヒルベルトの第17問題

ヒルベルトの第17問題は、1900年にダフィット・ヒルベルトがまとめた有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つです。これは、正定値有理関数を平方の商の和として表現することに関する問題です。元の問題は次のように言い換えることができます。

• 実数上の非負の値のみをとる多変数多項式は、有理関数の二乗和として表すことができるか？

ヒルベルトの問いは偶数次の同次多項式に限定することができる。なぜなら、奇数次の多項式は符号が変化するからであり、多項式の同次化は、元の多項式が非負である場合に限り、非負の値しか取らないからである。

ある英語訳では、ヒルベルトの第17問題は次のように述べられています。^{[ 1 ]}

実数係数を持つ任意の数の変数に関する有理積分関数または形式であって、これらの変数の実数値に対して負にならないものは、定値であると言われる。すべての定値形式の体系は、加算と乗算の演算に関して不変であるが、2 つの定値形式の商（それが変数の積分関数である場合）もまた定値形式である。任意の形式の二乗は明らかに常に定値形式である。しかし、私が示したように、^{[ 2 ]}すべての定値形式が形式の二乗の加算によって合成できるわけではないので、すべての定値形式が形式の二乗の和の商として表現できないかという疑問が生じる（私は三項形式については肯定的に答えた^{[ 3 ]）}。同時に、特定の幾何学的構成の可能性に関する特定の疑問のために、表現で使用される形式の係数が、表現される形式の係数によって与えられる有理性の範囲から常に取得できるかどうかを知ることが望ましい。

この問題の定式化では、例えば^{[ 4 ]}のような非負の多項式が存在することを考慮に入れています。

${\displaystyle f(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2},}$

これは他の多項式の平方和として表すことができません。1888年、ヒルベルトは、 n個の変数と次数2dのすべての非負同次多項式は、 (a) n = 2、(b) 2d = 2、または(c) n = 3かつ2d = 4のいずれかの場合に限り、他の多項式の平方和として 表すことができることを示しました。 ^{[ 2 ]}ヒルベルトの証明には明示的な反例が示されていませんでした。最初の明示的な反例は1967年にモツキンによって構築されました。^{[ 5 ]}さらに、多項式の次数2dが2より大きい場合、平方和として表すことができない非負多項式が著しく多く存在します。^{[ 6 ]}

次の表は、すべての非負の同次多項式（または偶数次の多項式）が平方和として表せる場合をまとめたものです。

n = 2の特殊なケースは、1893 年にヒルベルトによって既に解決されていました。^{[ 3 ]一般} 的な問題は、1927 年にエミール・アルティンによって、実数またはより一般的には実閉体上の正半定値関数に対して肯定的に解決されました。 ^{[ 7 ]}アルゴリズムによる解法は、1984 年にチャールズ・デルゼルによって発見されました。 ^{[ 8 ]}アルブレヒト・プフィスター の結果^{[ 9 ]}は、 n変数の正半定値形式が²ⁿ乗の和として表せることを示しています。^{[ 10 ]}

デュボワは1967年に、順序体の場合、一般に答えは否定的であることを示した。^{[ 11 ]} この場合、正の多項式は正の係数を持つ有理関数の重み付き平方和であると言える。^{[ 12 ]}マッケナは1975年に、順序体の係数を持つすべての正の半正定値多項式は、実閉包の端点を持つ任意の区間が元の体からの要素を含むという意味で、その体が実閉包で稠密である場合に限り、正の係数を持つ有理関数の重み付き平方和であることを示した。^{[ 13 ]}

行列の場合への一般化（常に正の半定値である多項式関数要素を持つ行列は、有理関数要素を持つ対称行列の二乗和として表現できる）は、Gondard、Ribenboim ^{[ 14 ]}および Procesi、Schacher ^{[ 15 ]}によって与えられ、 Hillar と Nie ^{[ 16 ]}によって初等的な証明が与えられました。

複素解析と複素幾何学では、正則多項式のノルムの二乗を二乗する必要があるエルミート類似が、楕円型偏微分方程式に基づく手法を用いて、 Quillenによって厳密に正の多項式に対して証明された。^{[ 17 ]}二乗和表現は、存在する場合には一意であり、これは最適化の文脈でPutinarによって最初に観察された。^{[ 18 ]}

最小の数値は何かという疑問が残る。

${\displaystyle v(n,d),}$

任意のn変数、非負のd次多項式は、最大で の和として表すことができる。${\displaystyle v(n,d)}$実数上の有理関数の二乗。1967年にPfisterによって与えられた上限は次のとおりです。 ^{[ 9 ]}

${\displaystyle v(n,d)\leq 2^{n},}$

反対に、条件付き下限は計算複雑性理論から導出できます。3-SATのn変数インスタンスは、 n変数とd=4の多項式上の正値性問題として実現できます。 これにより、正値性テストがNP 困難であることが証明されます。 より正確には、指数時間仮説が真であると仮定すると、${\displaystyle v(n,d)=2^{\オメガ (n)}}$。

Pfisterの結果はエルミートの場合には成り立たず、必要な正方形の数に上限はありません。D'Angelo–Leblを参照してください。^{[ 19 ]}

• クリヴィネ・ステングル・ポジティブステレンザッツ
• 多項式SOS
• 正の多項式
• 二乗和最適化
• SOS凸性

• Pfister, Albrecht (1976). 「ヒルベルトの第17問題と定値形式に関する関連問題」。Felix E. Browder (編) 『ヒルベルト問題から生じる数学的発展』純粋数学シンポジウム論文集、第 XXVIII巻第2号、アメリカ数学会、 483–489頁。ISBN  0-8218-1428-1。
• ラム・ツィットユエン（2005）。体上の二次形式入門。大学院数学研究。第 67巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• ローレンツ、ファルコ（2008）。代数学。第2巻：構造を持つ体、代数、および高度なトピック。シュプリンガー・フェルラーク。15-27頁。ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• Rajwade, AR (1993). Squares . London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .