本質的な平面距離

数学において、固有平坦距離は、2 つのリーマン多様体間の距離の概念であり、ユークリッド空間にある部分多様体と積分カレント間のフェデラーとフレミングの平坦距離を一般化したものです。

概要

ソルマニ・ウェンガー固有平坦距離（SWIF）は、同じ次元のコンパクトな有向リーマン多様体間の距離です。より一般的には、同じ次元の2つの積分電流空間（X、d、T ）間の距離を定義します（以下を参照）。この空間のクラスと距離は、2009年の幾何学フェスティバルで数学者のソルマニとウェンガーによって初めて発表され、これらの概念の詳細な展開は2011年にJournal of Differential Geometry^{に掲載されました。 [1]}

SWIF 距離は、フェデラーとフレミングによって開発された、ユークリッド空間における部分多様体と積分カレント間の (外在的) 平坦距離に基づく本質的概念である。定義は、与えられた空間からすべての可能な周囲空間Zへの距離保存写像すべてにわたって下限値を求めるという点で、グロモフのグロモフ-ハウスドルフ距離の定義を模倣している。共通空間Zに入ると、空間の像をアンブロジオ-キルヒハイムの意味で積分カレントと見なすことによって、像間の平坦距離が求められる。^[1]

内在的設定と外在的設定の両方における大まかな考え方は、空間を第 3 の空間または領域の境界と見なし、この第 3 の空間の最小の加重体積を見つけることです。このようにして、体積が徐々に小さくなるスプラインを多数持つ球は、"SWIF 的に" 球に収束します。^[1]

リーマン設定

2つのコンパクトな有向リーマン多様体M _i（境界を持つ可能性がある）が与えられる:

d _SWIF ( M ₁ , M ₂ ) = 0

であるのは、 M _1からM ₂への向きを保存する等長写像が存在する場合である。M _{i が}グロモフ・ハウスドルフの意味で距離空間Yに収束する場合、 M _iの部分列はYに含まれるが必ずしもYに等しいとは限らない積分電流空間に SWIF 的に収束する。たとえば、細長い首のピンチを持つ球の列の GH 極限は、その間を線分が走る球のペアであるが、 SWIF 極限は単に球のペアである。だんだん薄くなるトーラスの列の GH 極限は円であるが、平坦極限は 0 空間である。非負のリッチ曲率と体積の均一な下限を持つ設定では、 GH 極限と SWIF 極限は一致する。多様体の列がリプシッツの意味で極限リプシッツ多様体に収束する場合、 SWIF 極限が存在し、同じ極限を持つ。^[1]

ウェンガーのコンパクト性定理は、コンパクトなリーマン多様体の列Mj_が直径、体積、境界体積に一様な上限を持つ場合、部分列は積分電流空間にSWIF収束することを述べています。^[1]

積分電流空間

m 次元積分カレント空間 ( X , d , T ) は、 m次元積分カレント構造Tを持つ距離空間 ( X , d )です。より正確には、アンブロジオ–キルヒハイムの概念を使用すると、TはXの距離完備化上のm次元積分カレントであり、X はTの質量測度の正の密度の集合です。アンブロジオ–キルヒハイムの深い定理の結果として、X は可算H ^m整流可能な距離空間であるため、 R ^mのコンパクト部分集合からの双リプシッツ図の像によってH ^{m の}ほぼすべての場所で覆われ、整数値の重み関数が与えられ、向きがあります。さらに、積分カレント空間には、( m − 1) 次元積分カレント空間である境界の明確に定義された概念があります。0 次元積分カレント空間は、整数値の重みを持つ点の有限の集合です。すべての次元に存在する特別な積分カレント空間の 1 つが 0 空間です。^[1]

2 つの積分電流空間間の固有の平坦距離は次のように定義されます。

d _SWIF (( X ₁ , d ₁ , T ₁ ), ( X ₂ , d ₂ , T ₂ ,)) は、すべての距離空間Mとすべての距離保存マップ f _i : X _i → Zのすべての数d _F ( f _1* T ₁ , f _2* T ₂ )の最小値として定義されます。ここでd _{F は、}積分カレント構造T _{i を}前方に押し進めることによって見つかったZの積分カレント間の平坦な距離を表します。

2つの積分電流空間がd _SWIF = 0となるのは、空間間に電流保存等長関係がある場合のみである。^[1]

上記の結果はすべて、ウェンガーのコンパクト性定理を含め、このより一般的な設定でも述べることができます。^[1]

アプリケーション

^{特定のGH限界がH m}整流可能であることを証明する^[1]
特異点からの滑らかな収束を理解する^[2]
境界を持つリーマン多様体の収束を理解する^[1]
一般相対性理論から生じる問題を研究するため^[3]
^{グロモフのプラトー・シュタイン多様体に関する論文[4]}で生じた問題を研究する

参考文献

^ abcdefghij 「リーマン多様体と他の積分カレント空間の間の本質的な平坦距離」ソルマニとウェンガー著、微分幾何学ジャーナル、第87巻、2011年、117-199ページ
^ 「特異集合からの滑らかな収束」Sajjad Lakzian とChristina Sormani著、Communications in Analysis and Geometry、第 21 巻、第 1 号、39–104、2013 年
^ 「回転対称リーマン多様体のペンローズ不等式における近似等式」ダン・リーとクリスティーナ・ソルマニ著Annales Henri Poincare 2012年11月、第13巻、第7号、pp 1537–1556
^ Gromov, Misha (2014). 「プラトー–シュタイン多様体」. Open Mathematics . 12 (7): 923–951. doi : 10.2478/s11533-013-0387-5 .

外部リンク

本質的フラット距離の書誌ウェブサイト https://sites.google.com/site/intrinsicflatconvergence/
本質的フラット距離の書誌ウェブサイト (ミラー) http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/research/intrinsicflat.html
幾何学フェスティバル 2009 http://www.math.sunysb.edu/geomfest09/program.html

[SW-1] 「リーマン多様体と他の積分カレント空間の間の本質的な平坦距離」ソルマニとウェンガー著、微分幾何学ジャーナル、第87巻、2011年、117-199ページ

[2] 「特異集合からの滑らかな収束」Sajjad Lakzian とChristina Sormani著、Communications in Analysis and Geometry、第 21 巻、第 1 号、39–104、2013 年

[3] 「回転対称リーマン多様体のペンローズ不等式における近似等式」ダン・リーとクリスティーナ・ソルマニ著Annales Henri Poincare 2012年11月、第13巻、第7号、pp 1537–1556

[4] Gromov, Misha (2014). 「プラトー–シュタイン多様体」. Open Mathematics . 12 (7): 923–951. doi : 10.2478/s11533-013-0387-5 .