微積分における線積分と二重積分に関する定理
ベクトル解析において、 グリーンの定理は、 単純閉曲線 C の 周りの 線積分 と、 C で囲まれた 平面 領域 D ( 内の面) 上の 二重積分 を関連付けます。これは、 ストークスの定理 ( 内の面) の 2 次元の特殊なケースです 。1 次元では、これは微積分の基本定理に相当します。3 次元では、これは 発散定理に相当します 。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
定理 C を 平面 上の 正の 向き で、 区分的に 滑らかな 単純な閉曲線 とし 、 D を C で囲まれた領域と します 。L と M が D を 含む 開領域 上で定義された ( x , y ) の関数であり 、 そこで
連続的な 偏微分を持つ場合、
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}
ここでC に沿った積分の経路は 反時計回り である 。 [1] [2]
応用 物理学では、グリーンの定理は多くの用途があります。1 つは 2 次元のフロー積分を解くことです。これは、ある体積から流出する流体の合計が、それを囲む領域の周りの流出の合計に等しいことを示しています。 平面幾何学 、特に面積 測定 では、グリーンの定理を使用して、周囲を積分するだけで平面図形の面積と重心を求めることができます。
証明 だ 単純な地域である D が 曲線 C 1 、 C 2 、 C 3 、 C 4 で構成される境界を持つ単純なタイプの領域である場合 、グリーンの定理の半分を実証できます。 以下は、簡略化された領域 Dに対する定理の半分の証明です。これは、 C 1 と C 3 が垂直線 (長さがゼロの場合もある) で接続された曲線で あるタイプ I 領域です。 D が タイプ II 領域で、 C 2 と C 4 が水平線 (これも長さがゼロの場合もある) で接続された曲線である場合の定理のもう半分についても同様の証明が存在します。これら 2 つの部分をまとめると、定理はタイプ III の領域 (タイプ I とタイプ II の両方である領域として定義されます) に対して証明されます。次に、 D を タイプ III 領域の集合に分解することにより、この特殊なケースから一般的なケースを導き出すことができます。
もしそれが証明できれば
そして
が真であれば、領域Dについてグリーンの定理が直ちに成り立つ。タイプIの領域については（ 1 ）を簡単に証明でき 、タイプIIの領域については（ 2 ）を簡単に証明できる。グリーンの定理はタイプIIIの領域についても成り立つ。
領域 Dは タイプI領域であると仮定し、右図のように次のように特徴付けられる。
ここで g 1 と g 2は [ a , b ] 上の 連続関数 である。( 1 )の二重積分を計算する 。
D
=
{
(
x
,
y
)
∣
a
≤
x
≤
b
,
g
1
(
x
)
≤
y
≤
g
2
(
x
)
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}
ここで 、 ( 1 ) の線積分を計算します 。C は4つの曲線 C1 、 C2 、 C3 、 C4 の 和集合として書き直すことができます 。
C 1 では 、 パラメトリック方程式 x = x 、 y = g 1 ( x )、 a ≤ x ≤ b を 使用します。
∫
C
1
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
L
(
x
,
g
1
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}
C 3 では 、パラメトリック方程式 x = x 、 y = g 2 ( x )、 a ≤ x ≤ b を使用します。
∫
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
−
C
3
L
(
x
,
y
)
d
x
=
−
∫
a
b
L
(
x
,
g
2
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}
C 3 上の積分は、 C が正（反時計回り）を向いているため、 bから a へ 負の方向に進むため 、否定される。 C 2 と C 4 では、 x は 一定のままであり、つまり
∫
C
4
L
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
C
2
L
(
x
,
y
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}
したがって、
( 3 )と( 4 )を組み合わせると、タイプIの領域については( 1 )が得られる。 同様の処理により、タイプIIの領域については( 2 )が得られる。この2つを組み合わせると、タイプIIIの領域の結果が得られる。
修正可能なジョルダン曲線の証明 以下を証明します
定理 — をにおける 正の向きの ジョルダン曲線 とします 。 をその内部領域とします。 は、 の すべての点で 2 次偏微分を持ち 、 のすべての点で 1 次偏微分を持ち、 上でリーマン積分可能である という 性質を持つ連続関数であるとします 。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
{\displaystyle R}
A
,
B
:
R
¯
→
R
{\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
B
{\displaystyle B}
R
{\displaystyle R}
D
1
B
,
D
2
A
:
R
→
R
{\displaystyle D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R} }
R
{\displaystyle R}
∫
Γ
(
A
d
x
+
B
d
y
)
=
∫
R
(
D
1
B
(
x
,
y
)
−
D
2
A
(
x
,
y
)
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).}
次のような補題が必要であるが、その証明は[3] に記載されている。
補題 1 (分解補題) — は 平面 上の正の向きのジョルダン曲線で、 その内部領域をとします。任意の正の実数 に対して 、 直線 で囲まれた平面上の正方形の集合を とします。 ここで、 は 整数の集合を通ります。すると、この に対して、 を 有限個の重なり合わない部分領域に分解して、次の式が
成り立つことがあります。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
R
{\displaystyle R}
δ
{\displaystyle \delta }
F
(
δ
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}
x
=
m
δ
,
y
=
m
δ
{\displaystyle x=m\delta ,y=m\delta }
m
{\displaystyle m}
δ
{\displaystyle \delta }
R
¯
{\displaystyle {\overline {R}}}
たとえば、 に含まれる各部分領域は の正方形です 。
R
{\displaystyle R}
R
1
,
R
2
,
…
,
R
k
{\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}}
F
(
δ
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}
残りの各サブ領域、例えば は、 の有限個の弧 と からの正方形の辺の一部 によって形成される修正可能なジョルダン曲線を境界として持ちます 。
R
k
+
1
,
…
,
R
s
{\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
F
(
δ
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}
境界領域のそれぞれは、 辺の長さが の正方形で囲むことができます 。
R
k
+
1
,
…
,
R
s
{\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}
2
δ
{\displaystyle 2\delta }
が の正方向境界曲線である 場合 、
Γ
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
R
i
{\displaystyle R_{i}}
Γ
=
Γ
1
+
Γ
2
+
⋯
+
Γ
s
.
{\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.}
境界領域の数は（ ） 以下です 。ここで は の長さです 。
s
−
k
{\displaystyle s-k}
4
(
Λ
δ
+
1
)
{\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}
Λ
{\displaystyle \Lambda }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
補題 3 — が の修正可能曲線であり 、 が 連続関数であるとします。このとき
、 であり、
の範囲での の振動は
どこにあるのでしょうか 。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
f
:
range of
Γ
→
R
{\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R} }
|
∫
Γ
f
(
x
,
y
)
d
y
|
≤
1
2
Λ
Ω
f
,
{\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}
|
∫
Γ
f
(
x
,
y
)
d
x
|
≤
1
2
Λ
Ω
f
,
{\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}
Ω
f
{\displaystyle \Omega _{f}}
f
{\displaystyle f}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
これで定理を証明できるようになりました。
定理の証明。 を 任意の正の実数と します。 の連続性 と のコンパクト性により 、 が与えられたとき、 の2点 が より 離れているときはいつでも、 の下のそれらの像はより離れて いないという が 存在します 。この について 、前の補題で与えられた分解を考えます。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
R
¯
{\displaystyle {\overline {R}}}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
0
<
δ
<
1
{\displaystyle 0<\delta <1}
R
¯
{\displaystyle {\overline {R}}}
2
2
δ
{\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }
A
,
B
{\displaystyle A,B}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
∫
Γ
A
d
x
+
B
d
y
=
∑
i
=
1
k
∫
Γ
i
A
d
x
+
B
d
y
+
∑
i
=
k
+
1
s
∫
Γ
i
A
d
x
+
B
d
y
.
{\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}
置く 。
φ
:=
D
1
B
−
D
2
A
{\displaystyle \varphi :=D_{1}B-D_{2}A}
各 に対して 、曲線は 正の向きの正方形であり、グリーンの公式が成り立つ。したがって、
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}
Γ
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
∑
i
=
1
k
∫
Γ
i
A
d
x
+
B
d
y
=
∑
i
=
1
k
∫
R
i
φ
=
∫
⋃
i
=
1
k
R
i
φ
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}
境界領域のすべての点は、から まで の距離を超えない 。したがって、 が すべての境界領域の和集合である場合、 となる 。したがって 、補題2により と
なる。この
ことから、
2
2
δ
{\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }
Γ
{\displaystyle \Gamma }
K
{\displaystyle K}
K
⊂
Δ
Γ
(
2
2
δ
)
{\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}
c
(
K
)
≤
c
¯
Δ
Γ
(
2
2
δ
)
≤
4
2
δ
+
8
π
δ
2
{\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}
∫
R
φ
−
∫
⋃
i
=
1
k
R
i
φ
=
∫
K
φ
.
{\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}
|
∑
i
=
1
k
∫
Γ
i
A
d
x
+
B
d
y
−
∫
R
φ
|
≤
M
δ
(
1
+
π
2
δ
)
for some
M
>
0.
{\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}
最後の不等式の右辺 が
δ
{\displaystyle \delta }
<
ε
.
{\displaystyle <\varepsilon .}
この証明の冒頭の記述は、 すべての境界領域における との振動が最大で であることを意味している 。
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
|
∑
i
=
k
+
1
s
∫
Γ
i
A
d
x
+
B
d
y
|
≤
1
2
ε
∑
i
=
k
+
1
s
Λ
i
.
{\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}
補題1(iii)により、
∑
i
=
k
+
1
s
Λ
i
≤
Λ
+
(
4
δ
)
4
(
Λ
δ
+
1
)
≤
17
Λ
+
16.
{\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}
これらを組み合わせると、最終的に
に対してが得られます 。これはすべての に対して当てはまるので 、これで完了です。
|
∫
Γ
A
d
x
+
B
d
y
−
∫
R
φ
|
<
C
ε
,
{\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}
C
>
0
{\displaystyle C>0}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
異なる仮説の下での妥当性 最後の定理の仮定は、グリーンの公式が成り立つ唯一の仮定ではありません。別の一般的な条件セットは次のとおりです。
関数は 依然として連続であると仮定します。ただし、関数は のすべての点でフレシェ微分可能である必要があります 。これは、すべての方向導関数、特に の存在を意味します。 ここで、通常どおり は の標準順序基底です 。さらに、関数は 上でリーマン積分可能である必要があります 。
A
,
B
:
R
¯
→
R
{\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }
R
{\displaystyle R}
D
e
i
A
=:
D
i
A
,
D
e
i
B
=:
D
i
B
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}
(
e
1
,
e
2
)
{\displaystyle (e_{1},e_{2})}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
D
1
B
−
D
2
A
{\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}
R
{\displaystyle R}
この結果として、修正可能なジョルダン曲線に対するコーシーの積分定理が得られます。
証拠 複素平面を とみなします 。ここで、 を と定義します。これらの関数は明らかに連続です。 および は フレシェ微分可能であり、コーシー-リーマン方程式を満たすことは よく 知られています 。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
u
,
v
:
R
¯
→
R
{\displaystyle u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
D
1
v
+
D
2
u
=
D
1
u
−
D
2
v
=
zero function
{\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}}
さて、問題の複素線積分を定義するために使用される合計を分析すると、右辺の積分が通常の線積分であることが簡単にわかります
。これらの注釈により、グリーンの定理をこれらの線積分のそれぞれに適用して証明を完了することができます。
∫
Γ
f
=
∫
Γ
u
d
x
−
v
d
y
+
i
∫
Γ
v
d
x
+
u
d
y
,
{\displaystyle \int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,}
多重接続領域 定理。 を 満たす
、正の向きの修正可能なジョルダン曲線を と します。
ここで は の内部領域です 。
Γ
0
,
Γ
1
,
…
,
Γ
n
{\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
Γ
i
⊂
R
0
,
if
1
≤
i
≤
n
Γ
i
⊂
R
2
∖
R
¯
j
,
if
1
≤
i
,
j
≤
n
and
i
≠
j
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}
R
i
{\displaystyle R_{i}}
Γ
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
D
=
R
0
∖
(
R
¯
1
∪
R
¯
2
∪
⋯
∪
R
¯
n
)
.
{\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}
と が 連続関数で、 への制限がフレシェ微分可能であると する 。 関数が
上でリーマン積分可能である場合 、
p
:
D
¯
→
R
{\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }
q
:
D
¯
→
R
{\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }
D
{\displaystyle D}
(
x
,
y
)
⟼
∂
q
∂
e
1
(
x
,
y
)
−
∂
p
∂
e
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}
D
{\displaystyle D}
∫
Γ
0
p
(
x
,
y
)
d
x
+
q
(
x
,
y
)
d
y
−
∑
i
=
1
n
∫
Γ
i
p
(
x
,
y
)
d
x
+
q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
D
{
∂
q
∂
e
1
(
x
,
y
)
−
∂
p
∂
e
2
(
x
,
y
)
}
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}
ストークスの定理との関係 グリーンの定理は、 -平面の領域に適用された場合の ケルビン・ストークスの定理 の特殊なケースです 。
x
y
{\displaystyle xy}
2次元フィールドを、 z 成分が常に0である3次元フィールドに拡張することができます。 ベクトル 値関数 を Fと 書きます。グリーンの定理の左側から始めます。
F
=
(
L
,
M
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∮
C
(
L
,
M
,
0
)
⋅
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
=
∮
C
F
⋅
d
r
.
{\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}
ケルビン・ストークスの定理:
∮
C
F
⋅
d
r
=
∬
S
∇
×
F
⋅
n
^
d
S
.
{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}
表面は 平面内の領域にすぎず 、単位法線は （慣例により）両方の定理の「正の方向」の定義と一致するように正の z 成分を持つように定義されます。
S
{\displaystyle S}
D
{\displaystyle D}
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
積分内の式は次のようになる。
∇
×
F
⋅
n
^
=
[
(
∂
0
∂
y
−
∂
M
∂
z
)
i
+
(
∂
L
∂
z
−
∂
0
∂
x
)
j
+
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
k
]
⋅
k
=
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
.
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}
こうしてグリーンの定理の右側の辺が得られる。
∬
S
∇
×
F
⋅
n
^
d
S
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
.
{\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}
グリーンの定理は、微分形式 と 外導関数 を用いた一般的なストークスの定理の直接的な結果でもある 。
∮
C
L
d
x
+
M
d
y
=
∮
∂
D
ω
=
∫
D
d
ω
=
∫
D
∂
L
∂
y
d
y
∧
d
x
+
∂
M
∂
x
d
x
∧
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}
発散定理との関係 2次元ベクトル場のみを考慮すると、グリーンの定理は発散定理 の2次元バージョンと同等である 。
∬
D
(
∇
⋅
F
)
d
A
=
∮
C
F
⋅
n
^
d
s
,
{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}
ここで、 は2次元ベクトル場上の発散であり 、 は 境界上の外向きの単位法線ベクトルです。
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
これを理解するには、方程式の右側にある 単位法線を考えてみましょう。グリーンの定理では、 は曲線に沿って接線方向を指すベクトルであり、曲線 C は境界に沿った正方向（つまり反時計回り）の曲線であるため、外向きの法線はこれの右に90°を指すベクトルになります。1つの選択肢は です 。このベクトルの長さは です 。
n
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
d
r
=
(
d
x
,
d
y
)
{\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}
(
d
y
,
−
d
x
)
{\displaystyle (dy,-dx)}
d
x
2
+
d
y
2
=
d
s
.
{\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}
(
d
y
,
−
d
x
)
=
n
^
d
s
.
{\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}
グリーンの定理の左側から始めます。
2次元発散定理を適用すると 、グリーンの定理の右側が得られます。
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
=
∮
C
(
M
,
−
L
)
⋅
(
d
y
,
−
d
x
)
=
∮
C
(
M
,
−
L
)
⋅
n
^
d
s
.
{\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}
F
=
(
M
,
−
L
)
{\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}
∮
C
(
M
,
−
L
)
⋅
n
^
d
s
=
∬
D
(
∇
⋅
(
M
,
−
L
)
)
d
A
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
.
{\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}
面積計算 グリーンの定理は線積分によって面積を計算するのに使用できる。 [4] 平面領域の面積は 次のように表される。
D
{\displaystyle D}
A
=
∬
D
d
A
.
{\displaystyle A=\iint _{D}dA.}
となるような と を選ぶ と 、面積は次のように与えられる。
L
{\displaystyle L}
M
{\displaystyle M}
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
=
1
{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}
A
=
∮
C
(
L
d
x
+
M
d
y
)
.
{\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}
の面積の可能な公式には 以下が含まれる [4]。
D
{\displaystyle D}
A
=
∮
C
x
d
y
=
−
∮
C
y
d
x
=
1
2
∮
C
(
−
y
d
x
+
x
d
y
)
.
{\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}
歴史 この定理は、1828年に 『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関する論文』 という論文で同様の結果を述べた ジョージ・グリーン にちなんで名付けられました。1846年に オーギュスタン＝ルイ・コーシーは 、グリーンの定理を最後から2番目の文として述べた論文を発表しました。これは、実際、現代の教科書に載っている形で印刷されたグリーンの定理の最初のものです。ジョージ・グリーン『 電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関する論文』 （ノッティンガム、イギリス：T.ホイールハウス、1828年）。グリーンは、実際にはこの記事に登場する「グリーンの定理」の形を導き出したわけではなく、むしろ、彼の 論文 の10～12ページに登場する「発散定理」の形を導き出しました 。
1846 年、この記事に登場する「グリーンの定理」の形式は、証明なしに、 オーギュスタン・コーシー の論文で初めて発表されました。A. コーシー (1846)「閉曲線のすべての点に及ぶ積分について」、 Comptes rendus 、 23 : 251–255。 （この式は254ページの下部に記されており、（ S ）は 領域 S を囲む曲線 sに沿った関数 k の線積分を表す。）
この定理の証明は、1851年に ベルンハルト・リーマン の就任論文で最終的に示された：Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse（可変複素量の関数の一般理論の基礎）（ゲッティンゲン（ドイツ）：アダルベルト・レンテ、1867年）；8～9ページを参照。</ref> [5]
参照
数学ポータル
面積計 – 面積を測定するツール イメージ電荷法 - 静電気学で用いられる、一意性定理（グリーンの定理から派生）を利用した方法 靴ひもの公式 – 単純な多角形に対するグリーン定理の特殊なケース Desmos - ウェブベースのグラフ計算機
参考文献
さらに読む
外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a3feffd38b2ac095b5e5f36bedf83d12872aff)
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a90d83bc979c291f726a35cf8811cbf7706540)
