大逆スナブ二十二十面体

幾何学において、大逆スナブ二十面体（または大バーティスナブ二十面体）は、U _{69でインデックス付けされた}均一な星型多面体である。シュレーフリ記号はsr{ 5 ⁄ 3 ,3}で、コクセター・ディンキン図は マグナス・ウェニンガー著の『多面体モデル』では、多面体が誤って「グレート・スナブ・イコシドデカヘドロン」と命名されており、その逆も同様である。

を多項式 の最大の（負の最小値）負のゼロとし、を黄金比とする。点を次のように表すと する。${\displaystyle \xi \approx -0.5055605785332548}$${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{-2}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\xi \\\phi ^{-2}-\phi ^{-2}\xi \\-\phi ^{-3}+\phi ^{-1}\xi +2\phi ^{-1}\xi ^{2}\end{pmatrix}}}$。

行列を次のように表すと します。${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$。

${\displaystyle M}$は、軸の周りを反時計 回りに角度だけ回転することです。線形変換は、点を 偶数個のマイナス符号を持つの偶数順列に 送る変換とします。変換は、正四面体の回転対称性のグループを構成します。変換 、 は、正二十面体の回転対称性のグループを構成します。すると、60 点は、 大きなスナブ二十面体の頂点になります。辺の長さは、外接半径は、中半径は に等しくなります。 ${\displaystyle (1,0,\phi )}$${\displaystyle 2\pi /5}$${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$${\displaystyle -2\xi {\sqrt {1-\xi }}}$${\displaystyle -\xi {\sqrt {2-\xi }}}$${\displaystyle -\xi }$

辺の長さが1である大正十二面体の場合、円周半径は

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 0.6450202372957795}$

その中半径は

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 0.4074936889340787}$

R ²の六次方程式の 4 つの正の実根 は、スナブ 十二面体(U ₂₉ )、大スナブ二十二十十二面体(U ₅₇ )、大反転スナブ二十二十十二面体 (U ₆₉ )、大逆スナブ二十二十十二面体(U ₇₄ ) の外接半径です。 $${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$$

大逆五角形六十面体（または花弁状三二十面体）は、非凸等面体 多面体です。60 個の凹五角形面、150 個の辺、および 92 個の頂点 で構成されます。

これは、均一な大逆スナブ二十二 面体の双対です。

黄金比を で表します。を多項式 の最小の正のゼロとします。すると、各五角形の面には の 4 つの等しい角度と の 1 つの角度があります。各面には 3 つの長辺と 2 つの短辺があります。長辺と短辺の長さの比は次のように表されます。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \xi \approx 0.252\,780\,289\,27}$${\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}}$${\displaystyle \arccos(\xi )\approx 75.357\,903\,417\,42^{\circ }}$${\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 238.568\,386\,330\,33^{\circ }}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle l={\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 3.528\,053\,034\,81}$。

二面角はに等しい。各面の一部は立体の内部にあるため、立体モデルでは見えません。多項式の他の 2 つのゼロは、大五角形六十面体と大五角形六十面体の記述で同様の役割を果たします。 ${\displaystyle \arccos(\xi /(\xi +1))\approx 78.359\,199\,060\,62^{\circ }}$${\displaystyle P}$

• 均一多面体の一覧
• グレートスナブイコシドデカヘドロン
• グレート・レトロスナブ・イコシドデカヘドロン

• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208126ページ

• Weisstein、Eric W.「大逆五角形六十面体」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「大反転スナブ二十面体」。MathWorld。