スミス予想

数学において、スミス予想は、 f が有限位数の3 次元球面 の微分同相写像である場合、fの不動点集合は非自明な結び目になることはできない、 というものです。

ポール・A・スミス (1939、定理 4 の後の注釈) は、不動点を持つ有限位数の非自明な方向保存微分同相写像は、円に等しい不動点集合を持たなければならないことを示し、(アイレンバーグ 1949、問題 36) で、不動点集合が結び目を持つことができるかどうかを尋ねました。 フリードヘルム・ヴァルトハウゼン (1969) は、位数 2 の微分同相写像 (したがって任意の偶数位数) の特殊なケースについてスミス予想を証明しました。一般的なケースの証明は、ジョン・モーガンとハイマン・バス (1984) によって記述され、3 次元多様体理論におけるいくつかの主要な進歩、特に3 次元多様体上の双曲的構造に関するウィリアム・サーストンの研究、および 3 次元多様体における極小曲面に関するウィリアム・ミークスとシン・トン・ヤウの結果に依存しており、さらにバス、キャメロン・ゴードン、ピーター・シャレン、リック・リザーランド の協力も受けています 。

ディーン・モンゴメリーとレオ・ジッピン (1954) は、3 次元球面の連続反転の例を示しました。この球面の不動点集合は、乱雑に埋め込まれた円であるため、スミス予想は位相的 (滑らかなカテゴリや PL カテゴリではなく) カテゴリでは誤りです。チャールズ・ギッフェン (1966) は、より高次元でのスミス予想の類似が誤りであることを示しました。つまり、少なくとも 4 次元の球面の周期微分同相写像の不動点集合は、余次元 2 の結び目のある球面になり得るということです。

• ヒルベルト・スミス予想

• アイレンバーグ、サミュエル(1949)、「位相幾何学の問題について」、数学年報、第 2 シリーズ、50 (2): 247–260、doi :10.2307/1969448、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969448、MR  0030189
• ギッフェン、チャールズ H. (1966)、「一般化されたスミス予想」、アメリカ数学誌、88 (1): 187–198、doi :10.2307/2373054、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373054、MR  0198462
• モンゴメリー、ディーン、ジッピン、レオ（1954）、「変換群の例」、アメリカ数学会紀要、5（3）：460–465、doi：10.2307/2031959、ISSN  0002-9939、JSTOR  2031959、MR  0062436
• モーガン、ジョン・W. ;バス、ハイマン、編 (1984)、スミス予想、純粋および応用数学、第112巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-506980-9、MR  0758459
• スミス、ポール A. (1939)、「有限周期の変換 II」、数学年報、第 2 シリーズ、40 (3): 690–711、Bibcode :1939AnMat..40..690S、doi :10.2307/1968950、ISSN  0003-486X、JSTOR  1968950、MR  0000177
• Waldhausen、Friedhelm (1969)、「Über Involutionen der 3-Sphäre」、Topology、8 : 81–91、doi : 10.1016/0040-9383(69)90033-0、ISSN  0040-9383、MR  0236916