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代数幾何学において、一般化ヤコビアンとは、完全曲線のヤコビ多様体を一般化した、因子を持つ曲線に関連付けられた可換代数群である。これは 1954 年にマクスウェル・ローゼンリヒトによって導入され、アーベル・ガロア群を持つ曲線の分岐被覆を調べるために使用できる。曲線の一般化ヤコビアンは、可換アフィン代数群による曲線のヤコビアン の拡張であり、シュヴァレーの構造定理の重要な例となる。
意味
Cが完全な非特異曲線、m がC上の有効因子、Sがmのサポート、P がSに含まれないC上の固定基点であるとします。一般化されたヤコビアンJ m は、 CからJ mへの有理写像fを持つ可換代数群であり、次のようになります。
- f はP をJ mの恒等式にします。
- f はSの外側では正則である。
- DがC上の有理関数gの約数でg ≡1 mod mとなるときは常にf ( D ) = 0 となる。
さらに、J m はこれらの特性を持つ普遍群であり、C から上記特性を持つ群への任意の有理写像はJ m を介して一意に因数分解されるという意味である。 群J m は基点Pの選択に依存しないが、P を変更すると写像f は変換によって変化する。
一般化ヤコビ行列の構造
m = 0の場合、一般化ヤコビアンJ mは通常のヤコビアンJ、つまりCの種数gの次元のアーベル多様体です。
mが非零の有効因子である場合、一般化ヤコビアンとは次元deg( m )−1の連結可換アフィン代数群LmによるJの拡張である。したがって、正確なシーケンスが得られる。
- 0 → L m → J m → J → 0
群L mは商である
- 0 → G m → Π U P i ( n i ) → L m → 0
基底体の乗法群G mによる群R iの積。積はmの台の点P iにわたっており、群U P i ( n i )は 1 mod P i n iであるものを法とする局所環の可逆な元の群である。群U P i ( n i )は、 mにおけるP i の出現回数であるn i の次元を持つ。これは乗法群G mと次元n i −1の単能群の積であり、標数 0 ではn i −1 個の加法群 の積と同型である。
複素一般化ヤコビアン
複素数上では、一般化ヤコビアンの代数構造によって一般化ヤコビアンの解析構造が決定され、複素リー群になります。
一般化ヤコビアンの基礎となる解析的部分群は、次のように記述できます。(2 つの非同型な可換代数群が解析群として同型になる場合があるため、これによって代数構造が常に決まるわけではありません。) C が、台Sを持つ有効因子m を持つ曲線であるとします。ホモロジー群H 1 ( C − S )から、1 サイクル上の 1 形式の積分によって誘導される複素ベクトル空間 Ω(− m ) ( m上に極を持つ 1 形式) の双対 Ω(− m )* への自然な写像があります。解析的一般化ヤコビアンは、商群 Ω(− m )*/ H 1 ( C − S ) です。