測地座標

測地座標は、測地学で使用される曲線 直交座標系の一種で、基準楕円体に基づいています。測地座標系には、測地緯度（南北）ϕ、経度（東西）λ、楕円体高h （測地高^[1]とも呼ばれる）が含まれます。この 3 要素は、地球楕円体座標^[2]とも呼ばれます（楕円体調和座標や楕円体座標と混同しないでください）。

経度は、基準子午線と測定点の間の回転角を測定します。慣例により、地球、月、太陽の場合、経度は -180° から +180° の範囲の度数で表されます。他の天体の場合、0° から 360° の範囲が使用されます。この目的のために、基準子午線を識別する必要があります。地球の場合、これは通常、本初子午線です。他の天体の場合、通常は固定された表面フィーチャが参照されます。火星の場合、これはクレーターAiry-0を通過する子午線です。同じ参照楕円体上で、さまざまな座標系を定義することが可能です。

測地緯度は、子午線上の点が極または赤道にどれだけ近いかを測定し、-90° から +90° の角度で表されます (0° は赤道)。測地緯度は、赤道面と基準楕円体に垂直な線との間の角度です。平坦化によっては、赤道面と楕円体の中心からの線との間の角度である地心緯度と若干異なる場合があります。地球以外の天体の場合は、惑星緯度と惑星心緯度という用語が使用されます。

楕円体高（または楕円体高度）は、測地高（または測地高度）とも呼ばれ、楕円体法線ベクトルに沿って評価された、対象点と楕円体表面の間の距離です。楕円体内部の点の高さが負になるように、 符号付き距離として定義されます。

測地緯度と地心緯度には異なる定義があります。測地緯度は、楕円体上の点における赤道面と表面法線との間の角度として定義されますが、地心緯度は、楕円体の中心と表面上の点を結ぶ放射状線と赤道面との間の角度として定義されます (図を参照)。限定なしで使用される場合、緯度という用語は測地緯度を指します。たとえば、地理座標で使用される緯度は測地緯度です。測地緯度の標準的な表記はφです。地心緯度の標準的な表記はありません。例として、 θ、ψ、φ′などがあります。

同様に、測地高度は楕円体表面から楕円体に垂直な高さとして定義されます。一方、地心高度は、地心への放射状線に沿った基準楕円体までの距離として定義されます。航空業界のように限定なしで使用される場合、高度という用語は測地高度を指します (さらに精密化される場合もあります。たとえば、標高など)。地心高度は、通常、軌道力学で使用されます(軌道高度を参照)。

地球の赤道の膨らみの影響が特定の用途（例えば、惑星間宇宙飛行）にとって重要でない場合は、地球楕円体を球状の地球として簡略化することができます。その場合、地心緯度と測地緯度は等しく、緯度に依存する地心半径は地球の全球平均半径に簡略化されます（球面座標系も参照）。

測地座標が与えられれば、点の地心直交座標は次のように計算できる。 ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&={\big (}N+h{\big )}\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

ここで、aとbはそれぞれ赤道半径（長半径）と極半径（短半径）です。Nは緯度ϕの関数である主垂直曲率半径です。

${\displaystyle N={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}, }$

対照的に、直交座標からϕ、λ、h を抽出するには、 ϕとhがNを介して相互に関係しているため、通常は反復処理が必要になる。^{[4] [5]}

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$。

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left((Z/p)/(1-e^{2}N/(N+h))\right).}$

ここで、より洗練された方法が利用可能です。 ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$

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