新入生の夢

フレッシュマンズドリームとは、が実数（通常は1より大きい正の整数）で、 が非ゼロの実数である、誤った方程式 に付けられた名前です。初心者の学生は実数の和の累乗を計算するときによくこの誤りを犯し、累乗は和に分配されると誤って想定します。^{[1] [2]} n = 2のとき、これがなぜ間違っているかは簡単にわかります。分配法則（米国の学生には一般にFOIL法として知られています）を使用すると、 ( x  +  y ) ^{2 は}x ²  + 2 xy  +  y ²として正しく計算できます。nがより大きな正の整数値の場合、正しい結果は二項定理によって与えられます。 ${\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x,y}$

「フレッシュマンズドリーム」という名前は、素数 pに対して、xとy が特性pの可換環の要素である場合、 ( x  +  y ) ^p  =  x ^p  +  y ^pであるという定理を指すこともあります。このより珍しいタイプの算術では、 p が最初と最後を除くすべての二項係数を除算し、すべての中間項をゼロにするため 、「間違い」は実際には正しい結果をもたらします。

この恒等式は熱帯幾何学の文脈でも実際に成り立ち、乗算は加算に置き換えられ、加算は最小値に置き換えられる。^[3]

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$、 しかし。${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$は と等しくありません。たとえば、は3 + 4 = 7と等しくありません。この例では、指数n = ⁠でエラーが発生しています。${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$1/2⁠ .

が素数で、と が特性の可換環の要素である場合、 となります。これは二項係数の素因数を調べることでわかります。n番目の二項係数は ${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(pn)!}}.}$

分子はp の 階乗(!)で、 pで割り切れます。ただし、0 < n < pのとき、すべての因数がpより小さく、pが素数であるため、 n ! と( p − n )!は両方ともpと素です。二項係数は常に整数であるため、n番目の二項係数はpで割り切れ、したがって環では 0 になります。残る 0 番目とp番目の係数は両方とも 1 になり、目的の方程式が得られます。

したがって、特性pにおいて、フレッシュマンズ ドリームは有効な恒等式です。この結果は、pによる累乗により環の フロベニウス自己準同型として知られる自己準同型が生成されることを示しています。

特性pが素数であるという要求は、新入生の夢の真実の中心です。関連する定理は、pが素数である場合、多項式環において( x + 1) ^p ≡ x ^p + 1であると述べています。この定理は、現代の素数判定における重要な事実です。^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$

1938年9月6日、ハロルド・ウィラード・グリーソンはニューヨーク・サン紙に「『暗く血塗られた地---』（新入生の夢）と題する詩を発表し、その後、さまざまな新聞や雑誌に転載された。この詩は2つの節から成り、各節は交互にインデントされた8行から成り、ABCBの押韻法を採用している。この概念に関連しているかもしれないことを示唆する単語やフレーズには、「代数」、「ワイルドな系が絡み合う」、「無理数」、「プラスとマイナスの符号」、「二項式」、「二次式」、 「括弧」 、「指数」、「xとyについて」、「括弧と根号を削除し、慎重に行う」、「立方体の因数」などがある。^[5]

「フレッシュマンの夢」という用語の歴史は、いくぶん不明瞭である。1940 年のモジュラー体に関する記事で、サンダース・マクレーンは、標数 2 の体における( a + b ) ² = a ² + b ²の知識は代数学の新入生を堕落させるだろうというスティーブン・クリーネの発言を引用している。これが、「フレッシュマン」と正標数の体における二項展開との最初の関連である可能性がある。^[6]それ以来、学部生向けの代数学の教科書の著者は、このよくある誤りに注目した。「フレッシュマンの夢」というフレーズが実際に最初に使用されたのは、ハンガーフォードの大学院生向け代数学の教科書 (1974 年) で、この教科書でハンガーフォードは、この名前は「ヴィンセント・O・マクブライエンに因む」と述べている。^[7]代替用語には、フラリー (1998 年) で使用された「フレッシュマン指数法」がある。^[8]「フレッシュマンズドリーム」という言葉自体は、数学以外の文脈では19世紀から記録されています。^[9]

( x + y ) ⁿの展開は二項定理によって正しく与えられるため、フレッシュマンズドリームは「子供の二項定理」^[4]または「男子生徒の二項定理」としても知られています。

• 橋脚骨
• 素数判定テスト
• 2年生の夢
• フロベニウス準同型