カビボ-小林-益川行列

素粒子物理学の標準モデルにおいて、カビボ・小林・益川行列（CKM行列、クォーク混合行列、KM行列）は、フレーバーを変える弱い相互作用の強さに関する情報を含むユニタリー行列である。技術的には、クォークが自由に伝搬するときと弱い相互作用に参加するときのクォークの量子状態の不一致を指定する。これは、 CP対称性の破れの理解に重要である。この行列は、ニコラ・カビボによって以前に導入された行列に1世代を追加して、小林誠と益川敏英によって3世代のクォークに対して導入された。この行列は、現在の3つのクォークファミリーのうち2つだけを含む GIMメカニズムの拡張でもある。

1963年、ニコラ・カビボは弱い相互作用の普遍性を保つためにカビボ角（θc _）を導入した。^{[1]カビボは}、マレー・ゲルマンとモーリス・レヴィによる、実質的に回転した非ストレンジベクトルとストレンジベクトル、および軸方向の弱いカレントに関する以前の研究^[2] に触発され 、それを参照した。^[3]

現在の概念（クォークはまだ提案されていなかった）に照らし合わせると、カビボ角はダウンクォークとストレンジクォークがアップクォークに崩壊する相対的な確率 （それぞれ | V _ud | ²   と | V _us | ²  ）に関連している。素粒子物理学の用語では、荷電カレントの弱い相互作用を介してアップクォークに結合する物体はダウン型クォークの重ね合わせであり、ここではd′で示される。^[4] 数学的には、これは次のようになる。

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

または、カビボ角を使用します。

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

現在受け入れられている| V _ud |と| V _us |の値（下記参照）を使用して、カビボ角は次のように計算できます。

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={ \frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

1974 年にチャーム クォークが発見されたとき、ダウン クォークとストレンジ クォークがアップ クォークまたはチャーム クォークのいずれかに遷移できることが注目され、次の 2 つの方程式が導き出されました。

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

または、カビボ角を使用します。

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~, }$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

これは行列表記では次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

またはカビボ角を使う

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

ここで、様々な | V _ij | ^{2は、フレーバー}jのクォークがフレーバーiのクォークに崩壊する確率を表します。この 2×2 回転行列は「カビボ行列」と呼ばれ、その後 3×3 CKM 行列に拡張されました。

1973年、小林と益川はCP対称性の破れが4クォークモデルでは説明できないことに気づき、カビボ行列をカビボ・小林・益川行列（CKM行列）に一般化し、3世代のクォークの弱い崩壊を追跡できるようにした。^[5]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

左側にはダウン型クォークの弱い相互作用の二重項パートナーがあり、右側には CKM 行列とダウン型クォークの質量固有状態のベクトルがあります。CKM 行列は、あるフレーバーjクォークから別のフレーバーiクォークへの遷移の確率を表します。これらの遷移は | V _ij | ²に比例します。

2023年現在、CKM行列要素の個々の大きさの最良の決定は次の通りである: ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

これらの値を使用して、CKM 行列のユニタリー性をチェックできます。特に、最初の行の行列要素は次のようになります。${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=.999997\pm .0007~;}$

実験結果を理論値1と一致させる。

定義でダウン型クォークを使用する選択は慣例であり、アップ型クォークとダウン型クォークの間の物理的に好ましい非対称性を表すものではありません。他の慣例も同様に有効です。アップ型クォークの質量固有状態u、c、およびt は、それらの弱い相互作用パートナーu′、c′、およびt′に関して行列を同等に定義できます。CKM 行列はユニタリ行列であるため、その逆行列は、代替選択で使用される共役転置と同じです。わずかに変更された形式で、同じ行列として表示されます。

行列を一般化するには、実験で現れるこの行列Vの物理的に重要なパラメータの数を数えます。クォークの世代がN個（2 N フレーバー） ある場合、

• N  ×  Nユニタリ行列 (つまり、 V ^† V = Iとなる行列V。ここで、V ^†はVの共役転置行列、Iは単位行列) では、 N ^{2 個}の実数パラメータを指定する必要があります。
• これらのパラメータの2 N  − 1 は物理的には重要ではありません。なぜなら、1 つの位相が各クォーク場（質量固有状態と弱固有状態の両方）に吸収される可能性があるからです。ただし、行列は共通の位相に依存しません。したがって、基底ベクトルの位相の選択に依存しない自由変数の総数は、N ²  − (2 N  − 1) = ( N  − 1) ²です。
  • これらのうち、⁠1/2⁠ N ( N  − 1) はクォーク混合角と呼ばれる回転角です。
  • 残りの⁠1/2⁠ ( N  − 1)( N  − 2) は複素位相であり、CP対称性の破れを引き起こします。

N = 2の場合 、パラメータは 1 つだけであり、これは 2 つの世代のクォーク間の混合角です。歴史的には、これは 2 つの世代のみが知られていたときの CKM 行列の最初のバージョンでした。これは、発明者のNicola CabibboにちなんでCabibbo 角と呼ばれています。

標準モデルの場合（N  = 3）、3つの混合角と1つのCP対称性を破る複雑な位相が存在する。^[7]

カビボのアイデアは、観察された 2 つの現象を説明する必要性から生まれました。

1. 遷移u ↔ d、e ↔ ν _e、およびμ ↔ ν _{μ は}同様の振幅を持ちました。
2. ストレンジネスの変化ΔS = 1の遷移の振幅は、⁠  1 /4⁠ ΔS = 0のもの。

カビボの解決策は、最初の問題を解決するために弱い普遍性（下記参照）を仮定し、 2番目の問題を解決するためにdクォークとsクォーク間の混合角θ _c（現在カビボ角と呼ばれている）を仮定することから構成されていました。

前のセクションの計算で示されているように、2世代のクォークではCP対称性を破る位相は存在し得ません。CP対称性の破れは1964年に中性K中間子の崩壊ですでに見られていたため、その後すぐに登場した標準モデルは第3世代のクォークの存在を明確に示し、小林と益川が1973年に指摘しました。したがって、1976年にフェルミ国立加速器研究所でボトムクォークが発見され（レオン・レーダーマンのグループによる）、すぐに行方不明の第3世代クォークであるトップクォークの探索が始まりました。

ただし、角度が取る特定の値は標準モデルの予測ではなく、自由パラメータであることに注意してください。現時点では、角度が実験で測定された値を取る理由を説明する、一般に受け入れられている理論はありません。

CKM行列の対角項に対するユニタリー性の制約は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1}$

は各世代jごとに別々に成り立ちます。これは、アップ型クォークのいずれか1 つとすべてのダウン型クォークとの結合の合計が、すべての世代で同じであることを意味します。この関係は弱い普遍性と呼ばれ、1967 年にNicola Cabibboによって初めて指摘されました。理論的には、すべてのSU(2)二重項が弱い相互作用のベクトル ボソンに同じ強さで結合するという事実の結果です。これは継続的な実験的テストの対象となっています。

CKM行列のユニタリー性の残りの制約は、次のように記述できる。

${\displaystyle \sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.}$

任意の固定された異なるiとjについて、これは各kごとに 1 つずつ、3 つの複素数に対する制約であり、これらの数が複素平面で三角形の辺を形成することを示しています。 iとjには 6 つの選択肢 (3 つは独立) があり、したがって 6 つのそのような三角形があり、それぞれをユニタリ三角形と呼びます。それらの形状は非常に異なる場合がありますが、それらはすべて同じ面積を持ち、これはCP の破れの位相に関連します。面積は、標準モデルでCP の破れがない特定のパラメーターに対してはゼロになります。三角形の向きは、クォーク場の位相によって異なります。

ユニタリ三角形の面積の2倍に相当する一般的な量は、ヤールスコグ不変量（ 1985年にセシリア・ヤールスコグによって導入された）である。

${\displaystyle J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.}$

アップクォークを表すギリシャ語の添え字とダウンクォークを表すラテン語の添え字では、4次元テンソルは二重反対称であり、 ${\displaystyle \;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;}$

${\displaystyle (\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.}$

反対称性を除いて、それは9 = 3 × 3 のゼロでない成分しか持たないが、驚くべきことに、Vのユニタリー性から、それらはすべて大きさが同一であることが示される。すなわち、

${\displaystyle (\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,}$

となることによって

${\displaystyle J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.}$

三角形の 3 辺は 3 つの角度と同様に直接実験に開放されているため、標準モデルのテストの 1 つは三角形が閉じているかどうかを確認することです。これは、日本の BELLE 実験やアメリカのBaBar実験、およびスイスの CERN のLHCbで行われている一連の最新の実験の目的です。

CKM マトリックスを完全に定義するには、4 つの独立したパラメーターが必要です。多くのパラメーター化が提案されていますが、最も一般的な 3 つを以下に示します。

小林と益川のオリジナルのパラメータ化では、3つの角度（θ ₁、θ ₂、θ ₃）とCP対称性を破る位相角（δ）が使用されました。^[5] θ ₁はカビボ角です。簡潔にするために、角度θ _{kの余弦と正弦は、それぞれ}k = 1、2、3に対してc k_とs k_と表記されます。        

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&-s_{1}c_{3}&-s_{1}s_{3}\\s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

CKM行列の「標準的な」パラメータ化では、3つのオイラー角（θ ₁₂、θ ₂₃、θ ₁₃）と1つのCP対称性の破れ位相（δ ₁₃）を使用する。^[8] θ ₁₂はカビボ角である。θ _jk = 0の場合、クォーク世代jとkの間の結合は消失する。角度の余弦と正弦はそれぞれc _jkとs _jkで表される。     

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta _{13}}&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

2008年の標準パラメータの値は次のとおりです。^[9]

θ ₁₂ =13.04° ± 0.05°、θ ₁₃ =0.201° ± 0.011°、 θ ₂₃ =2.38° ± 0.06°

そして

δ ₁₃ =1.20 ± 0.08 ラジアン =68.8° ± 4.5°。

CKM行列の3番目のパラメータ化はリンカーン・ウルフェンシュタインによって導入され、 4つの実パラメータλ、A、ρ、ηが結合がなければすべて「消える」（ゼロになる）ことになる。^[10] 4つのウルフェンシュタインパラメータはすべて1次であり、「標準」パラメータ化に関連しているという特性がある。

CKM 行列の Wolfenstein パラメータ化は、高次まで実行すれば望みどおりの精度が得られますが、主に標準パラメータ化の便利な近似値を生成するために使用されます。0.3 % 以上の精度で良好なλ ³次までの近似値は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

CP 対称性の破れの率はパラメータρとηに対応します。

CKM行列の前のセクションの値を使用すると、2008年時点でのWolfensteinパラメータ値の最良の決定は次のようになります。^[6]

λ =.22500 ± 0.0067、   A =0.826+0.018
−0.015、   ρ = 0.159±0.010、   η = 0.348±0.010。

2008年、小林と益川は「自然界に少なくとも3つのクォーク族が存在することを予測する対称性の破れの起源の発見」によりノーベル物理学賞を共同受賞した。 ^[11]ノーベル賞委員会がカビボの研究に報いなかったことに苦い感情を抱いている物理学者もいると報じられた。カビボの研究は小林と益川の研究と密接に関連していた。^[12]カビボは受賞についての反応を尋ねられたが、コメントを控えた。^[13]

• 標準模型の定式化とCP対称性の破れ
• 量子色力学、フレーバー、強いCP問題
• ワインベルグ角、Zと光子混合の同様の角度
• ポンテコルボ・マキ・中川・坂田行列、ニュートリノの等価混合行列
• 小出式

• DJ グリフィス (2008)。素粒子入門(第 2 版)。John Wiley & Sons。ISBN 978-3-527-40601-2。

• B. Povh; et al. (1995).粒子と核: 物理学的概念への入門. Springer . ISBN 978-3-540-20168-7。

• II Bigi、AI Sanda (2000)。CPの非対称性。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-44349-4。

• 「粒子データグループ: CKM クォーク混合行列」(PDF)。
• 「粒子データグループ：中間子崩壊におけるCP対称性の破れ」（PDF）。
• 「ババール実験」。カリフォルニア州SLACと「BELLE実験」。日本のKEKにて。