有限体積法

有限体積法( FVM ) は、偏微分方程式を代数方程式の形で表現および評価する方法です。 ^{[ 1 ]}有限体積法では、発散項 を含む偏微分方程式の体積積分は、発散定理を使用して面積積分に変換されます。これらの項は、各有限体積の表面でのフラックスとして評価されます。特定の体積に入るフラックスは隣接する体積から出るフラックスと同一であるため、これらの方法は保存的です。有限体積法のもう 1 つの利点は、非構造メッシュを許容するように簡単に定式化できることです。この方法は、多くの計算流体力学パッケージで使用されています。「有限体積」とは、メッシュ上の各ノード点の周囲の小さな体積を指します。^{[ 2 ]}

有限体積法は、節点値を用いて導関数を近似する有限差分法や、局所データを用いて解の局所近似を作成し、それらを繋ぎ合わせて全体近似を構築する有限要素法と比較対照することができる。これに対し、有限体積法は、ある体積における解の平均値の厳密な式を評価し、このデータを用いてセル内の解の近似を構築する。^{[ 3 ] [ 4 ]}

単純な1次元移流問題を考えてみましょう。

ここ、${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$は状態変数を表し、${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$流れまたはフローを表す${\displaystyle \rho }$従来、肯定的${\displaystyle f}$は右方向への流れを表し、負は右方向への流れを表します。${\displaystyle f}$は左方向の流れを表します。式（1）が一定面積の流体媒体を表すと仮定すると、空間領域を細分化できます。${\displaystyle x}$有限の体積またはセルに分割され、セルの中心は次のようにインデックス付けされます。${\displaystyle i}$特定の細胞の場合、${\displaystyle i}$体積平均値を定義することができます${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$その時${\displaystyle {t=t_{1}}}$そして${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$、 として

そしてその時$t=t2$として、

どこ${\displaystyle x_{i-1/2}}$そして${\displaystyle x_{i+1/2}}$それぞれ上流面と下流面またはエッジの位置を表す${\displaystyle i^{\text{th}}}$細胞。

式（１）を時間積分すると、次のようになる。

どこ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$。

体積平均を取得するには${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$その時$t=t2$私たちは統合します${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$細胞体積全体にわたって、${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$そして結果をで割る${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$つまり

私たちは次のように仮定します${\displaystyle f\ }$は良好な挙動を示し、積分の順序を逆にすることができます。また、流れはセルの単位面積に垂直であることを思い出してください。さて、1次元では${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$発散定理を適用できます。${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$、発散の体積積分を以下の値で置き換える${\displaystyle f(x)}$細胞表面（端）で評価${\displaystyle x_{i-1/2}}$そして${\displaystyle x_{i+1/2}}$）有限体積の以下の通りです。

どこ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$。

したがって、上記の問題に対して、セル中心をインデックス付けした半離散数値スキームを導出することができる。${\displaystyle i}$セルエッジフラックスは次のようにインデックス付けされます${\displaystyle i\pm 1/2}$（６）を時間に関して微分することにより、以下が得られる。

ここで、エッジフラックスの値、${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$は、セル平均の補間または外挿によって再構築できます。式（ 7）は体積平均に対して正確です。つまり、その導出中に近似は行われていません。

この方法は、ノード周辺の東西面に加えて南北面も考慮することで、2次元の状況にも適用できます。

また、次の偏微分方程式で表される一般的な保存則の問題も考えることができます。

ここ、${\displaystyle \mathbf {u} }$状態のベクトルを表し、${\displaystyle \mathbf {f} }$は対応するフラックステンソルを表します。ここでも、空間領域を有限の体積またはセルに分割できます。特定のセルについては、${\displaystyle i}$セル全体の体積について体積積分をとると、${\displaystyle v_{i}}$それによって、

最初の項を積分して体積平均を求め、2番目の項に発散定理を適用すると、次の式が得られます。

どこ${\displaystyle S_{i}}$は細胞の総表面積を表し、${\displaystyle {\mathbf {n} }}$は、表面に垂直で外向きの単位ベクトルです。したがって、最終的に、( 8 ) と同等の一般結果、すなわち、を提示することができます。

繰り返しになりますが、エッジフラックスの値は、セル平均の補間または外挿によって再構築できます。実際の数値スキームは、問題の形状とメッシュ構造によって異なります。MUSCL再構築は、解に衝撃波や不連続性が存在する高解像度スキームでよく使用されます。

有限体積法は、セル平均がエッジフラックスによって変化するため、保守的な手法です。言い換えれば、あるセルの損失は常に別のセルの利益になります。

• 有限要素法
• フラックスリミッター
• ゴドゥノフの計画
• ゴドゥノフの定理
• 高解像度スキーム
• KIVA（ソフトウェア）
• MIT一般循環モデル
• MUSCL計画
• セルゲイ・K・ゴドゥノフ
• 総変動減少
• 非定常流に対する有限体積法

• Eymard, R. Gallouët, TR、Herbin, R. (2000)有限体積法 数値解析ハンドブック、第 VII 巻、2000 年、713–1020 ページ 。編集者: PG CiarletおよびJL Lions。
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• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
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• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow , Hemisphere.
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• Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer-Verlag.
• ウェッセリング、ピーター（2001）、『計算流体力学の原理』、シュプリンガー・フェルラーク。

• R. Eymard、T. Gallouët、R. Herbinによる有限体積法（2000年に『数値解析ハンドブック』に掲載された記事の改訂版）
• リューベンケーニッヒ、オリバー。「有限体積法（FVM）入門」 。2009年10月2日にオリジナルからアーカイブ済み。GFDLの下で利用可能です。
• FiPy：NISTが開発したPythonを用いた有限体積偏微分方程式ソルバー。
• CLAWPACK：波動伝播法を用いて双曲型偏微分方程式の数値解を計算するために設計されたソフトウェアパッケージ。