2次元拡散問題に対する有限体積法

2次元拡散問題を解くために使用される方法は、1次元問題に使用される方法と似ています。定常拡散の一般的な方程式は、過渡項と対流項を削除することで、特性Φの一般的な輸送方程式から簡単に導くことができます^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial {}}{\partial {}x}}\left(\Gamma {}{\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}x}}\right)+{\frac {\partial {}}{\partial {}y}}\left(\Gamma {}{\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}y}}\right)+S=0}$

ここで、は拡散係数^[2]であり、はソース項^{[3]である。}
${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle S}$

離散化に使用される2 次元グリッドの一部を以下に示します。

一般的なグリッドノードPには、東（E）と西（W）の隣接ノードに加えて、北（N）と南（S）の隣接ノードも存在する。ここでは、1次元解析の場合と同じ表記法がすべての面とセル次元に使用されている。上記の式を制御体積にわたって正式に積分すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \int _{\Delta {v}}{\frac {\partial {}}{\partial {}x}}\left(\Gamma {}{\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}x}}\right)dxdy+\int _{\Delta {v}}{\frac {\partial {}}{\partial {}y}}\left(\Gamma {}{\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}y}}\right)dxdy+\int _{\Delta {v}}S_{\phi {}}dV=0}$

発散定理を用いると、この式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \left[{\Gamma {}}_{e}A_{e}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}x}}\right)_{e}-{\Gamma {}}_{w}A_{w}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}x}}\right)_{w}\right]+\left[{\Gamma {}}_{n}A_{n}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}y}}\right)_{n}-{\Gamma {}}_{s}A_{s}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}y}}\right)_{s}\right]+{\bar {S}}\Delta {}V=0}$

この式は、制御ボリューム内の特性 φ の生成と、そのセル面を通過するフラックスのバランスを表します。導関数は、テイラー級数近似を使用して次のように表すことができます。

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{w}A_{w}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {x}}}\right)}_{w} ={\Gamma {}}_{w}A_{w}{\frac {({\phi {}}_{p}-{\phi {}}_{w})}{{\delta {}x}_{WP}}}}$

東面を横切るフラックス =

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{e}A_{e}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {x}}}\right)}_{e} ={\Gamma {}}_{e}A_{e}{\frac {({\phi {}}_{e}-{\phi {}}_{p})}{{\delta {}x}_{PE}}}}$

南面を横切るフラックス =

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{s}A_{s}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {y}}}\right)}_{s}={\Gamma {}}_{s}A_{s}{\frac {({\phi {}}_{p}-{\phi {}}_{s})}{{\delta {}y}_{SP}}}}$

北面を横切るフラックス =

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{n}A_{n}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {y}}}\right)}_{n}={\Gamma {}}_{n}A_{n}{\frac {({\phi {}}_{n}-{\phi {}}_{p})}{{\delta {}y}_{PN}}}}$

これらの式を式（２）に代入すると、

${\displaystyle {\Gamma {}}_{e}A_{e}{\frac {({\phi {}}_{e}-{\phi {}}_{p})}{{\delta { }x}_{PE}}}-{\Gamma {}}_{w}A_{w}{\frac {({\phi {}}_{p}-{\phi {}}_{w} ）}{{\デルタ{}x}_{WP}}}+{\Gamma {}}_{n}A_{n}{\frac {({\phi {}}_{n}-{\phi {}}_{p })}{{\delta {}y}_{PN}}}-{\Gamma {}}_{s}A_{s}{\frac {({\phi {}}_{p}-{\ファイ{}}_{s})}{{\delta {}y}_{SP}}}+{\bar {S}}\Delta {}V=0}$

源項が線形化された形式で表される場合、この式は次のように変形できる。 ${\displaystyle {\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }}$

${\displaystyle \left[{\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}y}_{PN}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}y}_{SP}}}-S_{p}\right]\phi {}_{P}}$= ${\displaystyle {\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}}$

この方程式は、内部ノードの一般的な離散化方程式形式で表現できます。つまり、

${\displaystyle a_{P}\phi {}_{P}=a_{W}\phi {}_{W}+a_{E}\phi {}_{E}+a_{S}\phi {}_{S}+a_{N}\phi {}_{N}+S_{u}}$

どこ、

y 2次元の場合の面の面積は次のようになります。

${\displaystyle A_{w}=A_{e}=\Delta {}y}$ 

そして

${\displaystyle A_{n}=A_{s}=\Delta {}x}$。

我々は、細分化された領域の各グリッドノードで式（3）の形式の離散化方程式を記述することにより、特性の分布、すなわち与えられた2次元状況を得る。温度またはフラックスが既知の境界では、離散化方程式は境界条件を組み込むように修正される。境界側の係数はゼロに設定され（境界とのリンクを切断する）、この境界を横切るフラックスは、既存の項および項に追加されるソースとして導入される。その後、結果として得られる方程式セットを解いて、特性の2次元分布を得る。${\displaystyle \varphi {}}$${\displaystyle s_{u}}$${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle \varphi {}}$

• Patankar, Suhas V. (1980)、「数値的熱伝達と流体の流れ」、Hemisphere。
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• http://ingforum.haninge.kth.se/armin/CFD/dirCFD.htm 2012-07-13 にWayback Machineでアーカイブ
• 有限体積法、チェン・ロン
• 有限体積法、ロバート・エイマード他 (2010)、Scholarpedia、5(6):9835

• 数値流体力学
• 有限差分
• 熱方程式
• フォッカー・プランク方程式
• フィックの拡散の法則
• マクスウェル・ステファン方程式
• 拡散方程式
• 対流拡散方程式