信頼度推論

信頼度推論は、さまざまな種類の統計的推論の 1 つです。これらは、一般的な適用を目的とした規則であり、データのサンプルから結論を導き出すことができます。現代の統計実務では、信頼度推論を扱う試みは廃れ、頻度主義的推論、ベイズ推論、意思決定理論が好まれるようになりました。ただし、信頼度推論の発展により、広く使用されている理論統計の概念とツールが並行して発展したため、統計の歴史において信頼度推論は重要です。統計手法に関する現在の研究の一部は、信頼度推論に明示的に関連しているか、信頼度推論と密接に関連しています。

信頼度推論の一般的なアプローチは、ロナルド・フィッシャーによって提案されました。^{[1] [2]ここで「信頼度」はラテン語で「信仰」を意味します。信頼度推論は、}事前確率分布を参照せずに逆確率 を実行する試みとして解釈できます。^[3]信頼度推論はすぐに論争を呼び、広く受け入れられることはありませんでした。^[4]実際、信頼度推論に関するフィッシャーの主張に対する反例がすぐに発表されました。^{[要出典]これらの反例は、}統計的推論または帰納的論理のシステムとしての「信頼度推論」の一貫性に疑問を投げかけます。他の研究では、信頼度推論の手順が「信頼度確率」（または「信頼度分布」）につながると言われている場合、これらの確率は加法性の特性を欠いているため、確率の尺度を構成できないことが示されました。^[要出典]

信頼度推論の概念は、区間推定の問題の扱いを他の統計的推論モードと比較することによって概説できます。

• 頻度主義的推論では、包含確率γを持つ信頼区間は、同じ方法で計算されたすべての信頼区間のうち、割合γに推定する必要のある真の値が含まれるという解釈があります。これは、反復サンプリング (または頻度主義) の解釈、またはまだサンプリングされていないデータから計算された区間が真の値をカバーする確率のいずれかになります。ただし、どちらの場合も、関係する確率は、真の値が計算された特定の区間内にある確率ではありません。その段階では、真の値と計算された区間の両方が固定されており、ランダムではないためです。
• ベイズ推論における信用区間では、データのサンプルが取得される前と後の両方で、確率分布が真の値に関する知識の状態と関連付けられるという前提に基づいているため、区間が計算されると、その区間に真の値が含まれるという事象の確率を与えることができます。

フィッシャーは、頻度主義アプローチがまだ完全に開発されていなかった時代に、ベイズ法の認識された問題を解決するために信頼度法を設計しました。このような問題は、未知の値に事前分布を割り当てる必要があることに関係していました。その目的は、ベイズ法のように、実際の観察データに基づいて結果に逆確率の解釈を与えることができる手順を実現することでした。この方法は、「信頼度分布」を導出しようとすることで進められます。これは、未知のパラメータの任意の値に置くことができる信頼度の尺度であり、この方法が利用可能なすべての情報を使用するという意味でデータに忠実です。

残念ながら、フィッシャーはフィデューシャル法の一般的な定義を与えておらず、この方法が常に適用可能であることを否定した。^[要出典]彼が示した例は単一のパラメータに対するものだけであり、パラメータが複数ある場合には異なる一般化が行われている。推論に対するフィデューシャルアプローチの比較的完全な説明は、Quenouille (1958) によってなされており、Williams (1959) は回帰分析における較正問題 (「逆回帰」とも呼ばれる)へのフィデューシャル分析の適用について説明している。^[5] フィデューシャル推論のさらなる議論は、Kendall & Stuart (1973) によってなされている。^[6]

フィッシャーは、信頼度法を適用するために十分な統計量が存在することを要求しました。単一のパラメータに対して単一の十分な統計量があると仮定します。つまり、統計量が与えられたデータの条件付き分布は、パラメータの値に依存しないとします。たとえば、n 個の独立した観測値が区間 に均一に分布しているとします。n個の観測値の最大値Xは、 ωに対する 十分な統計量です。 Xのみが記録され、残りの観測値の値が忘れられた場合、これらの残りの観測値が区間 内の任意の値を持っていた可能性は等しくなります。このステートメントはωの値に依存しません 。その場合、Xにはωに関する利用可能なすべての情報が含まれ、他の観測値はそれ以上の情報を提供しない可能性があります。 ${\displaystyle [0,\omega ]}$${\displaystyle [0,X]}$

Xの累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=P\left({\text{all observations}}\leq x\right)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}.}$

X / ωについての確率的な記述が可能である。例えば、αが与えられた場合、 aの値は0 < a  < 1 で選択でき、 

${\displaystyle P\left(X>\omega a\right)=1-a^{n}=\alpha .}$

したがって

${\displaystyle a=(1-\alpha )^{1/n}.}$

するとフィッシャーは、この文は次のように反転できると言うかもしれない。

${\displaystyle P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha .}$

この後者の記述では、ωは変数とみなされ、Xは固定されていますが、以前はその逆でした。このωの分布は、信頼度を表す信頼区間を形成するために使用できる 信頼分布です。

計算は信頼区間を求めるための重要な方法と同じですが、解釈が異なります。実際、古い書籍では、信頼区間と信頼区間という用語が同じ意味で使用されています。^[要出典]信頼分布は、十分な統計量が 1 つだけ存在する場合に一意に定義されることに注意してください。

ピボット法は、観測値とパラメータの両方の関数であるが、その分布はパラメータに依存しないランダム変数に基づいています。このようなランダム変数は、ピボット量と呼ばれます。これらを使用すると、観測値とパラメータに関する確率ステートメントを作成できます。このステートメントでは、確率はパラメータに依存しません。また、上記の例とほぼ同じ方法でパラメータを解くことで、これらのステートメントを反転できます。ただし、十分な統計量に基づいてピボット量が一意に定義されている場合にのみ、これはフィデューシャル法と同等になります。

信頼区間を単に信頼区間の別名として解釈し、信頼区間の解釈を与えることもできる。しかし、その定義は一意ではないかもしれない。^{[引用が必要]}フィッシャーは、この解釈が正しいことを否定しただろう。彼にとって、信頼分布は一意に定義されなければならず、サンプル内のすべての情報を使用する必要があった。^{[引用が必要]}

フィッシャーは「信頼度推論」には問題があることを認めた。フィッシャーはジョージ・A・バーナードに、信頼度推論の問題について「頭がはっきりしない」と書いた。 ^[7]また、バーナードに宛てた手紙の中で、フィッシャーは自分の理論が「理解可能性への漸近的アプローチ」しか持っていないようだ、と不満を述べた。^[7]後にフィッシャーは「信頼度確率が何をするのかまだ理解していない。それが我々に何をしてくれるのかを知るには、長い時間をかけて理解する必要があるだろう。しかし、まだ明確な解釈がないからといって、それを無視すべきではない」と告白した。^[7]

デニス・リンドリー^[8]は、信頼確率は加法性がなく、したがって確率の尺度ではないことを示した。コックスは^{[9] 、同じ議論が}信頼区間に関連するいわゆる「信頼分布」にも当てはまるため、これから導かれる結論は議論の余地があると指摘している。フィッシャーは、信頼確率を使用した結果の「証明」を概説した。フィッシャーの信頼確率の議論の結論が誤っていない場合、その多くはベイズ推論からも導かれることが示されている。^{[要出典] [6]}

1978年、JG・ペダーソンは「信託論は成功が限られており、現在では事実上死んでいる」と書いた。^[10]デイヴィソンは「その後、信託主義を復活させようとする試みがいくつか行われたが、現在関心を集めているモデルと比較した場合の適用範囲の制限を考慮すると、信託主義は歴史的に重要な意味を持つようになった」と書いた。^[11]

信頼度推論は現在も研究が続けられており、その原理はいくつかの科学的応用において価値があるかもしれない。^{[12] [13]}