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フェルミ問題（またはフェルミ質問、フェルミクイズ）は、桁違いの問題とも呼ばれ、物理学や工学の教育における推定問題であり、次元解析や極端な科学的計算の近似を教えるために設計されています。フェルミ問題は通常、概算計算です。[ 1 ]フェルミ問題では、通常、量とその分散または下限と上限について正当な推測を行います。場合によっては、桁違いの推定は次元解析を使用して導出することもできます。フェルミ推定（または桁違いの推定、オーダー推定）は、極端な科学的計算の推定です。
この推定手法は、実際のデータがほとんど、あるいは全くない状態でも優れた近似計算を行う能力で知られていた物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名付けられました。例えば、トリニティ実験で爆発した原子爆弾の威力を、爆発時に手から落とした紙片が飛んだ距離に基づいて推定したのがエンリコ・フェルミです。フェルミの推定値である10キロトンのTNTは、現在受け入れられている21キロトンという値と桁違いに一致していました。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]
フェルミ推定法が一般的に有効なのは、個々の項の推定値が概ね正確であり、過大評価と過小評価が互いに相殺し合うためである。つまり、一貫した偏りがなければ、複数の推定値（例えば、シカゴのピアノ調律師の数）を掛け合わせるフェルミ計算は、当初想定されるよりも正確になる可能性が高い。
詳細には、推定値を乗算することは、それらの対数を加算することに相当する。したがって、対数スケール上で一種のウィーナー過程またはランダムウォークが得られ、それは次のように拡散する。（項数nの場合）。離散的な観点からは、過大評価の数から過小評価の数を引いた数は二項分布に従います。連続的な観点からは、実際の値から対数スケールで標準偏差σ単位のnステップの Fermi 推定を行うと、全体の推定値の標準偏差は になります。合計の標準偏差は次のようにスケーリングされる項の数において。
例えば、9段階のフェルミ推定を行い、各段階で正しい数値を2倍（または標準偏差2）過大評価または過小評価した場合、9段階後には標準誤差は対数係数で増加します。したがって、2 3 = 8 となります。つまり、正しい値の1/8 ～ 8 倍の範囲内、つまり1桁以内の誤差となり、最悪の場合の 2 9 = 512 倍 (約 2.71 桁) の誤差よりもはるかに小さくなります。チェーンが短い場合や、より正確に推定する場合は、全体的な推定値はそれに応じて良くなります。
フェルミ問題は往々にして極端な性質を持ち、一般的な数学的または科学的知識を用いて解決することは通常不可能である。
フェルミコンテスト公式で出題された問題例：
「小さじ1杯の水の質量をすべて熱エネルギーに変換できるとしたら、室温の水を何リットル沸騰させることができるでしょうか？」
「テムズ川はファンショーダムを通過する際に、どれくらい水温が上昇しますか？（摂氏）」
おそらく最も有名な桁違いの問題はフェルミのパラドックスであり、銀河にかなりの数の知的文明が存在する確率を考察し、人類文明がこれまで一度もそのような文明に遭遇したことがないという明らかな矛盾について考察するものである。フェルミ推定値の観点からこのパラドックスを考察するよく知られた試みはドレイク方程式であり、銀河に存在するそのような文明の数を推定しようとするものである。[ 7 ]
科学者は、より高度な手法を用いて正確な答えを計算する前に、問題の答えのフェルミ推定値[ 8 ]を求めることがよくあります。これは、結果の妥当性を確認するのに役立ちます。推定値はほぼ確実に不正確ですが、単純な計算であるため、エラーチェックが容易であり、得られた数値が合理的に予想される値を大きく超えている場合は、誤った仮定を見つけることができます。対照的に、正確な計算は非常に複雑になる可能性がありますが、得られる答えは正しいと期待されます。関与する要素と演算の数がはるかに多いため、数学的プロセスまたは方程式の基礎となる仮定のいずれかに重大なエラーがあっても、結果が正しいとみなされることがあります。これは、良好な結果が得られると予想される正確な公式から導出されたためです。妥当な基準がないと、結果が許容できる精度であるか、あるいは何桁も（数十倍または数百倍）大きすぎるか小さすぎるかが明確になることはほとんどありません。フェルミ推定は、妥当に予想される答えの基準を迅速かつ簡単に得る方法を提供します。
推定における初期仮定が妥当な量である限り、得られた結果は正しい結果と同じスケールの範囲内に収まり、そうでない場合は、その理由を理解するための基礎となります。例えば、シカゴのピアノ調律師の数を推定するように依頼されたとします。初期推定では100人程度と見積もられたのに、正確な結果では数千人にも上ると分かった場合、なぜ予想結果と乖離が生じたのかを突き止める必要があることが分かります。まず誤差を探し、次に推定で考慮されなかった要因を探します。シカゴには音楽学校や、人口に対するピアノの比率が異常に高い場所が多数あるのでしょうか？推定値が観測結果に近いか遠いかにかかわらず、推定によって得られる情報は、計算プロセスと問題分析に使用された仮定の両方について有用な情報を提供します。
フェルミ推定は、最適な計算方法の選択が予想される結果の大きさに依存する問題に取り組む際にも役立ちます。たとえば、フェルミ推定は、構造物の内部応力が線形弾性で正確に記述できるほど低いかどうか、または推定値がすでに他の値に対してスケール的に大きな関係を持っているかどうか、たとえば、構造物が推定値の数倍の荷重に耐えるように過剰設計されているかどうかを示す可能性があります。[ 9 ]
フェルミの計算は、その仮定に多くの問題がある可能性があるため、必ずしも正確ではありませんが、このような分析は、より良い答えを得るために何を探すべきかを教えてくれます。上記の例では、ピアノ調律師が1日に調律するピアノの数をより正確に推定したり、シカゴの人口の正確な数を調べたりすることができます。また、この方法は、いくつかの目的には十分な概算値も提供します。例えば、シカゴでピアノ調律機器を販売する店を開業したい人が、事業を継続するために1万人の潜在顧客が必要だと計算した場合、上記の推定値は1万人をはるかに下回っているため、別の事業計画を検討すべきだと合理的に判断できます（さらに少し手間をかければ、それぞれの仮定に現れる可能性のある最も極端な妥当な値を考慮することで、ピアノ調律師の数の概算上限値を計算することもできます）。
以下の書籍には、フェルミ問題の例と解答が多数掲載されています。
推定とフェルミ問題の解法に特化した大学レベルの講座は数多く存在する（または過去に存在した）。これらの講座の教材は、フェルミ問題の追加例や解法戦略に関する資料として役立つ。
