拡張トポロジ

数学の一分野である位相幾何学において、拡張位相とは位相空間と別の集合との互いに交わらない和集合上に配置される位相である。拡張位相にはさまざまな種類があり、以下のセクションで説明する。

X を位相空間、P をXと素な集合とします。X  ∪  Pにおいて、開集合がA  ∪  Q の形になる位相を考えます。ここで、AはXの開集合であり、Q はPの部分集合です。

X  ∪  Pの閉集合はB  ∪  Q の形式をとります。ここで、BはXの閉集合であり、Q はPのサブセットです。

これらの理由から、この位相はXプラスPの拡張位相と呼ばれ、これによりXの開集合と閉集合がX  ∪  Pに拡張されます。X  ∪  Pの部分集合として、 Xの部分空間位相はXの元の位相であり、 Pの部分空間位相は離散位相です。位相空間として、X  ∪  P はXとPの位相和に同相であり、X はX  ∪  Pの閉開部分集合です。

Y が位相空間であり、R がYのサブセットである場合、 Y – RとRの拡張位相がYの元の位相と同じであるかどうかが問われることがありますが、その答えは一般に「いいえ」です。

この拡張位相構成とアレクサンドロフの 1 点コンパクト化の類似性に注意してください。この場合、無限遠に点 ∞ を追加してコンパクト化したい位相空間Xがあり、 X ∪ {∞} の閉集合を、 K（KはXの閉コンパクト集合）、またはB  ∪ {∞} （BはXの閉集合） の形式の集合と見なします。

を位相空間とし、 をと素な集合とします。プラスの開拡大位相はとなります。 すると はの位相になります。 の部分空間位相はの元の位相、すなわちであり、 の部分空間位相は離散位相、すなわち です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}={\mathcal {T}}\cup \{X\cup A:A\subset P\}.}$$${\displaystyle X^{*}=X\cup P}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}|X={\mathcal {T}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}|P={\mathcal {P}}(P)}$

の閉集合はです。は では閉集合であり、 は では開いて稠密な集合であることに注意してください。 ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \{B\cup P:X\subset B\land X\setminus B\in {\mathcal {T}}\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$

Y が位相空間であり、R がYのサブセットである場合、 Y – RとRの開拡張位相がYの元の位相と同じであるかどうかが問われることがありますが、その答えは一般に「いいえ」です。

のオープン拡張トポロジはの拡張トポロジよりも小さいことに注意してください。 ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

些細なことを避けるために、とが空でないと仮定すると、オープン拡張トポロジーの一般的な性質がいくつかあります。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle X}$は密集しています。${\displaystyle X^{*}}$
• が有限であれば、はコンパクトです。その場合、のコンパクト化もです。${\displaystyle P}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X^{*}}$接続されています。
• が単一の点を持つ場合、超連結です。${\displaystyle P}$${\displaystyle X^{*}}$

集合ZとZ内の点pに対して、Z内の離散位相を考慮し、開拡張位相構成をZ – { p } プラスpに適用することで、排除点位相構成が得られます。

X を位相空間、P をXと素な集合とします。X  ∪  Pにおいて、閉集合がX  ∪  Q（QはPのサブセット）、またはB （BはXの閉集合）の形になる位相を考えます。

このため、この位相はXプラスPの閉拡大位相と呼ばれ、これによりXの閉集合がX  ∪  Pに拡大されます。X  ∪  Pのサブセットとして、 Xの部分空間位相はXの元の位相であり、 Pの部分空間位相は離散位相です。

X  ∪  Pの開集合は、 Q がPのサブセットである場合はQ、A  ∪  Pである場合はA がXの開集合である場合はAという形式になります。PはX  ∪  Pで開集合であり、X はX  ∪  Pで閉集合であることに注意してください。

Yが位相空間であり、R がYのサブセットである場合、 Y – RとRの閉じた拡大位相がYの元の位相と同じであるかどうかが問われることがありますが、その答えは一般に「いいえ」です。

X  ∪  Pの閉じた拡大位相はX  ∪  Pの拡大位相よりも小さいことに注意してください。

集合ZとZ内の点pに対して、Z内の離散位相を考慮し、閉じた拡張位相構成をZ – { p } プラスpに適用することで、特定の点位相構成が得られます。