不確実性を考慮した場合の期待値

意思決定理論と定量的政策分析において、不確実性を考慮した場合の期待値（EVIU ）とは、確率分析に基づく意思決定と不確実性を無視した分析に基づく意思決定の価値の期待差である。^{[1] [2] [3]}

不確実性が常に存在する中で、日々の意思決定を行わなければなりません。日常の意思決定のほとんどでは、不確実性の存在下で合理的に行動するために、その存在についてほとんど考えずに、さまざまなヒューリスティックが使用されます。しかし、より大規模でリスクの高い意思決定や、非常に公的な状況での意思決定では、定量分析や意思決定分析などを通じて、意思決定の問題をより体系的に扱うことで、意思決定者が恩恵を受けることがよくあります。

定量的意思決定モデルを構築する場合、モデル作成者はさまざまな関連要因を識別し、これらを入力変数としてエンコードします。これらの入力から、結果変数と呼ばれる他の量を計算できます。これらは意思決定者に情報を提供します。たとえば、以下に詳述する例では、意思決定者はフライトの予定出発時刻のどれくらい前に空港に向けて出発する必要があるかを決定する必要があります (決定)。入力変数の 1 つは、空港の駐車場まで車でどのくらい時間がかかるかです。この入力とその他の入力から、モデルは意思決定者がフライトに乗り遅れる可能性と、さまざまな決定にかかる正味コスト (分単位) を計算できます。

決定を下す際に、不確実性を無視することは非常に一般的な方法です。決定は、各入力変数に対して最善の推測（単一の値）を使用する定量分析とモデル構築を通じて行われます。その後、計算された点推定値に基づいて決定が下されます。しかし、多くの場合、不確実性を無視すると、結果変数の推定値が意思決定者を誤解させることが多く、非常に悪い決定につながる可能性があります^[4]

定量的意思決定モデルで不確実性を無視する代わりに、不確実性をモデルの一部として明示的にエンコードする方法があります。この方法では、各入力変数に対して、単一の最善の推測ではなく、確率分布が提供されます。その分布の分散は、入力量における主観的な不確実性(または知識不足)の程度を反映します。次に、ソフトウェア ツールはモンテ カルロ分析などの方法を使用して不確実性を結果変数に伝播します。これにより、意思決定者は不確実性が意思決定に与える影響を明確に把握し、多くの場合、結果としてはるかに優れた意思決定を行うことができます。

2 つのアプローチ (不確実性を無視するアプローチと不確実性を明示的にモデル化するアプローチ) を比較する場合、当然の疑問は、実際に決定の質にどの程度の違いが生じるかということです。1960 年代に、ロナルド A. ハワードは^[5]そのような尺度の 1 つとして、完全情報の期待値(EVPI)を提案しました。これは、すべての不確実な入力変数の「真の」値を知ることがどれだけ価値があるかを示す尺度です。EVPI は不確実性に対する感度の非常に有用な尺度を提供しますが、不確実性を明示的に表現して推論することで得られる決定の実際の改善を直接的に捉えるものではありません。このため、マックス ヘニオンは博士論文で、この記事のトピックである不確実性を含めた場合の期待値(EVIU) を導入しました。

させて

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\text{空間 }}D\\x\in X&{\text{不確実な量、真の値は空間 }}X\\U(d,x)&{\text{効用関数}}\\f(x)&{\text{x\end{array}}} 上の事前主観的確率分布（密度関数）}}}$

不確実性を考慮しない場合、不確実な量の期待値のみを使用して最適な決定が求められます。したがって、不確実性を無視した決定は次のように表されます。 ${\displaystyle E[x]}$

${\displaystyle d_{iu}={\arg \max _{d}}~U(d,E[x]).}$

不確実性を考慮した最適な決定は、期待効用を最大化する標準的なベイズ決定です。

${\displaystyle d^{*}={\arg \max _{d}}{\int U(d,x)f(x)\,dx}.}$

EVIU は、次の 2 つの決定間の期待効用の差です。

${\displaystyle EVIU=\int _{X}\left[U(d^{*},x)-U(d_{iu},x)\right]f(x)\,dx.}$

不確実な量xと決定変数d はそれぞれ多くのスカラー変数で構成される場合があり、その場合、空間XとDはそれぞれベクトル空間になります。

右の図は、空港で飛行機に乗るために、意思決定者がどのくらい早く家を出るべきかを決定する影響図です。緑色の四角形にある 1 つの決定は、飛行機の出発時刻の何分前に出発するかというものです。図には、4 つの不確実な変数が水色の楕円で示されています。自宅から空港の駐車場までの所要時間 (分)、駐車場からゲートまでの所要時間 (分)、出発前にゲートに到着しなければならない時間、および飛行機に乗り遅れた場合に発生する損失 (分) です。これらの各ノードには、次の確率分布が含まれています。

空港までの所要時間 := LogNormal (中央値:60、gsdev:1.3)
駐車場からゲートまでの時間 := LogNormal (中央値:10、gsdev:1.3)
Gate_time_before_departure :=三角形(最小:20、モード:30、最大:40)
飛行機に乗れなかった場合の損失:= LogNormal (中央値:400、標準偏差:100)

これらの分布はそれぞれ統計的に独立していると考えられます。中央値が60、幾何標準偏差が 1.3 である最初の不確実な変数Time_to_drive_to_airportの確率分布が次のグラフに示されています。

このモデルは、飛行機に搭乗するまでに要した時間 (または分単位の相当数) をコスト (赤い六角形の変数) として計算します。到着が遅すぎると、飛行機に乗り遅れ、次のフライトを待たなければならないという大きな損失 (負の効用) を被ることになります。到着が早すぎると、不必要に長いフライト待ちのコストを被ることになります。

EVIU を利用するモデルは、効用関数 を使用することがありますが、同等に損失関数を利用することもあります。この場合、効用関数 は損失関数の負の値になります。いずれの場合も、EVIU は正になります。主な違いは、損失関数の場合、決定は効用を最大化するのではなく損失を最小化することによって行われるという点だけです。この例では、損失関数Cost を使用しています。

計算された各変数の定義は次のようになります。

自宅からゲートまでの時間 := 空港までの車での移動時間 + 駐車場からゲートまでの時間 + 飛行機に乗り遅れた場合の損失
自宅での1分あたりの価値:= 1

コスト := 自宅での1分あたりの価値 * 家を出る時間 +
           (もし Time_I_leave_home < Time_from_home_to_gate なら Loss_if_miss_the_plane で、そうでなければ 0)

次のグラフは、不確実性を考慮した期待値（滑らかな青い曲線）と不確実性を無視した期待効用を、決定変数の関数としてグラフ化したものです。

不確実性を無視すると、少なくとも 100 分前に出発すれば確実にフライトに間に合うかのように行動し、それより遅く出発すると確実にフライトに乗り遅れるかのように行動します。すべてが確実であるかのように行動するため、最適な行動はフライトのちょうど 100 分前 (または 100 分 1 秒前) に出発することです。

不確実性を考慮すると、期待値は平滑化され (青い曲線)、最適なアクションはフライトの 140 分前に出発することです。フライトの 100 分前に決定する期待値曲線では、不確実性を無視した場合の期待コストは 313.7 分であるのに対し、フライトの 140 分前に出発した場合の期待コストは 151 分であることがわかります。この 2 つの差が EVIU です。

${\displaystyle EVIU=313.7-151=162.7{\text{ 分}}}$

つまり、意思決定の際に不確実性を明確に考慮すれば、平均 162.7 分の節約が実現します。

集中型線形二次制御のコンテキストでは、進化の方程式に加法的な不確実性があるが、その方程式の係数値については不確実性がない場合、不確実性を考慮した制御変数の最適解は、不確実性を無視した解と同じです。不確実性を含めた場合の期待値がゼロになるこの特性は、確実性等価性と呼ばれます。

EVIU とEVPI はどちらも、ベイズの決定の期待値を不確実性なしで行われた別の決定と比較します。EVIU の場合、この別の決定は不確実性が存在していても無視されたときに行われますが、EVPIの場合、この別の決定はxに関する完全な情報を取得して 不確実性を取り除いた後に行われます。

EVPIはxについて不確実であることの予想コストであり、 EVIU は x が確実であると仮定した場合の追加の予想コストです。

EVIU は、EVPI と同様に、効用関数の単位で期待値を示します。

• サンプル情報の期待値
• 一括発送の失効