サンプル情報の期待値

意思決定理論において、サンプル情報の期待値（EVSI）とは、意思決定者が意思決定を行う前に追加の観察サンプルにアクセスすることで得られる効用の期待増加量である。サンプルから得られる追加情報により、意思決定者はより多くの情報を得て、より良い意思決定を行うことができるため、期待効用が増加する。EVSIは、実際のサンプルデータを見る前にこの改善がどの程度になるかを推定しようとするため、EVSIは事後分析と呼ばれるものの一種である。意思決定理論におけるEVSIの使用は、1960年代にロバート・シュライファーとハワード・ライファによって普及した。 ^[1]

させて

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{空間 }}D\\x\in X&{\mbox{空間 }}X に真の値を持つ不確実な状態}\\z\in Z&{\mbox{n{\mbox{個の観測値から構成される観測サンプル}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U(d,x)&{\mbox{決定 }}d{\mbox{ を }}x から選択することの効用}\\p(x)&{\mbox{x 上の事前主観的確率分布 (密度関数)\\p(z|x)&{\mbox{サンプルを観測する条件付き事前確率}z\end{array}}}$

EVSI シナリオでは、、 、および が一般的ですが (必須ではありません)、各観測値は基礎状態 の偏りのないセンサー読み取り値であり、各センサー読み取り値は独立しており、同一に分布していることを意味します。 ${\displaystyle Z_{i}=X}$${\displaystyle p(z|x)=\prod p(z_{i}|x)}$${\displaystyle \int zp(z|x)dz=x}$${\displaystyle x}$

事前分布のみに基づいて、それ以上の観察を行わずに、最適な決定から得られる効用は、次のように表される。

${\displaystyle E[U]=\max_{d\inD}~\int_{X}U(d,x)p(x)~dx.}$

意思決定者が単一のサンプルにアクセスできる場合、最適な事後効用は ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x|z)~dx}$

ここで、はベイズの定理から得られる。 ${\displaystyle p(x|z)}$

${\displaystyle p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \over {p(z)}};}$

${\displaystyle p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.}$

サンプルが取得された場合に実際にどのようなサンプルが得られるかわからないため、サンプルが与えられた場合に期待される効用を取得するには、すべての可能なサンプルを平均化する必要があります。

${\displaystyle E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.}$

サンプル情報の期待値は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\right)-\left(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx\right).\end{array}}}$

E[U|SI] 内の可能な観測値の空間にわたって積分を解析的に実行することはほとんど不可能なので、EVSI の計算には通常、モンテカルロ シミュレーションが必要です。この方法では、サンプル をランダムにシミュレートし、それを使用して事後分布を計算し、 に基づいて効用を最大化します。このプロセス全体を何度も繰り返して、最適な効用のモンテカルロ サンプルを取得します。これらを平均すると、仮想サンプルが与えられた場合に期待される効用が得られます。 ${\displaystyle z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},...,z_{n}^{i}\rangle }$${\displaystyle p(x|z^{i})}$${\displaystyle p(x|z^{i})}$${\displaystyle i=1,..,M}$

規制当局は、新しい治療法を承認するかどうかを決定します。最終的な承認/拒否の決定を下す前に、被験者に対してさらに試験研究を実施する価値は何かと尋ねます。この質問に対する回答は、EVSI によって提供されます。 ${\displaystyle n}$

この図は、この例で EVSI を計算するための 影響図を示しています。

このモデルは、特定の主題の結果を次の 5 つのカテゴリのいずれかに分類します。

${\displaystyle Z_{i}=}${「治癒」、「改善」、「効果なし」、「軽度の副作用」、「重篤な副作用」}

そして、これらの結果のそれぞれに対して、その結果の推定患者相当金銭的価値に等しい効用を割り当てます。

この例では、決定状態は0 から 1 までの 5 つの数値のベクトルで、合計が 1 になり、5 つの可能性のある結果のそれぞれを経験する将来の患者の割合を示します。たとえば、状態は、患者の 5% が治癒し、60% が改善し、20% が治療の効果がなく、10% が軽度の副作用を経験し、5% が危険な副作用を経験する場合を表します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]}$

事前確率はディリクレ分布を使用してエンコードされます。この分布では、5 つの数値 (合計が 1 にならない) が必要で、その相対値は各結果の予想される相対割合を捉え、その合計はこの事前確信の強さをエンコードします。図では、ディリクレ分布のパラメーターは変数dirichlet alpha priorに含まれており、事前分布自体は確率変数Priorに含まれています。周辺分布の確率密度グラフを以下に示します。 ${\displaystyle p(x)}$

確率変数Trial dataでは、 Trial data は多項分布からのモンテカルロ サンプルとしてシミュレートされます。たとえば、Trial_size=100 の場合、Trial_dataの各モンテカルロ サンプルには、合計が 100 になるベクトルが含まれ、これはシミュレートされた調査で 5 つの可能な結果のそれぞれを経験した被験者の数を示します。次の結果表は、最初の 8 つのシミュレートされた試験結果を示しています。

この試験データをディリクレ事前分布と組み合わせるには、結果頻度をディリクレ事前分布のアルファ値に追加するだけで済み、シミュレーションされた各試験のディリクレ事後分布が得られます。これらのそれぞれについて、平均効用が正であるかどうかに基づいて承認の決定が行われ、治療が承認されない場合の効用をゼロとして使用して、事後事前効用が得られます。可能な試験サイズの範囲で計算を繰り返すと、次のグラフに示すように、候補となる各試験サイズで EVSI が得られます。

サンプル情報の期待値 (EVSI) は、完全な情報の期待値(EVPI) メトリックの緩和であり、真の基礎状態を学習した場合に得られる効用の増加をエンコードします。基本的に、EVPI は完全な情報の価値を示し、EVSI は限られた不完全な情報 の価値を示します。${\displaystyle x}$

不確実性を含めた場合の期待値( EVIU) は、不確実な情報をモデル化した場合の価値と、不確実性を考慮に入れないで状況をモデル化した場合の価値を比較します。計算結果に対する不確実性の影響はモンテカルロ法を使用して分析されることが多いため、EVIU はモンテカルロ サンプルを使用して分析を実行する価値と非常によく似ているように見えます。これは、EVSI で捉えられた概念と表現が似ています。ただし、EVSI と EVIU はまったく異なります。EVSI がベイズ更新を使用してシミュレートされたサンプルを組み込む方法には顕著な違いがあります。

• ベイズ実験計画
• 完全情報の期待値(EVPI)
• 不確実性を考慮した期待値（EVIU）

• ハンバーグ、モリス、ヤング、ペグ (1993)。「サンプリング前の最適戦略の考案」。意思決定のための統計分析。フォートワース: ドライデン プレス。731 ～ 766 ページ。ISBN 0-03-096914-X。