完全情報の期待値

意思決定理論において、完全情報の期待値（EVPI ）とは、完全な情報にアクセスするために人が喜んで支払う価格である。^[1] EVPIの概念を使用する一般的な分野は、医療経済学である。その文脈において、そして新しい治療技術を採用するかどうかの決定を検討する場合、決定が間違っていることが判明する可能性が常にあるため、決定を取り巻く不確実性が常に存在する。完全情報の期待値分析は、その不確実性の予想コストを測定しようとするものであり、少なくとも理論的観点からは「完全な情報は誤った決定を下す可能性を排除できるため、完全情報の期待値（EVPI）として解釈できる」。^[2]

この問題は、行インデックスi がプレイヤーが行うべき選択を表し、列インデックスj がプレイヤーがまだ知らないランダム変数を表し、状態jになる確率がp _jであるペイオフ行列 R _ijを使用してモデル化されます。プレイヤーがjの値を知らずにi を選択した場合、期待される金銭的価値を最大化する選択が最善の選択となります。

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=\max _{i}\sum _{j}p_{j}R_{ij}}$

どこ

${\displaystyle \sum _{j}p_{j}R_{ij}}$

行動に対する期待される利益、すなわち期待値であり、

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=\max _{i}}$

全ての可能な行動に対する期待値の最大値を選択することである。一方、jに関する完全な知識があれば、プレイヤーはその特定のjに対する期待値を最適化するiの値を選択することができる。したがって、完全な情報が与えられた場合の期待値は

${\displaystyle {\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=\sum _{j}p_{j}(\max _{i}R_{ij}),}$

ここで、はシステムが状態jにある確率、 はシステムが状態jにある間にアクションiを実行した場合の利得です。ここで、 は各状態jに対するアクションiの最適な選択を示します。 ${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle R_{ij}}$${\displaystyle (\max _{i}R_{ij})}$

完全情報の期待値は、これら2つの量の差である。

${\displaystyle {\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}.}$

この差は、 j を知っていてそのjに最適なi を選択することで、 j がわかる前にiの値を選択する場合と比較して、プレイヤーが期待値としてどれだけ大きな値を得ることができるかを表します。EV|PI は必ず EMV 以上であるため、EVPI は常に非負になります。

EVPI は、十分な情報を持たない通常の予測者を判断する基準を提供します。EVPI は、コストのかかる提案を拒否するために使用できます。EVPI よりも高い価格で知識が提供される場合、その提案を拒否する方がよいでしょう。ただし、予測の提案を受け入れるかどうかを決定するときにはあまり役に立ちません。なぜなら、取得する情報の品質を知る必要があるからです。

設定：

株式、投資信託、または定期預金 (CD) の 3 つの投資手段のうち 1 つだけに投資するとします。さらに、市場が上昇する可能性が 50%、横ばいの可能性が 30%、下落する可能性が 20% であるとします。市場が上昇した場合、株式投資は 1,500 ドルの利益を上げ、投資信託は 900 ドルの利益を上げます。市場が横ばいの場合、株式投資は 300 ドルの利益を上げ、投資信託は 600 ドルの利益を上げます。市場が下落した場合、株式投資は 800 ドルの損失を上げ、投資信託は 200 ドルの損失を上げます。定期預金は、市場の変動とは無関係に 500 ドルの利益を上げます。

質問：

完全情報の期待値は何ですか?

解決：

ここでのペイオフマトリックスは次のようになります。

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1500&300&-800\\900&600&-200\\500&500&500\end{bmatrix}}}$

確率ベクトルは次のようになります。

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}0.5\\0.3\\0.2\end{bmatrix}}}$

各車両の期待値（）： ${\displaystyle Rp}$

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{stock}}=0.5\times 1500+0.3\times 300+0.2\times (-800)=680}$

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{mutual fund}}=0.5\times 900+0.3\times 600+0.2\times (-200)=590}$

${\displaystyle {\mbox{Exp}}_{\text{certificate of deposit}}=0.5\times 500+0.3\times 500+0.2\times 500=500}$

これらの期待の最大値は株式ビークルです。市場がどの方向に進むかはわかりませんが（方向の確率のみがわかっているため）、株式ビークルで最も多くの利益が得られると予想されます。

したがって、

${\displaystyle {\mbox{EMV}}=680}$

一方、市場がどちらの方向に向かうかを事前に知っていたとしたらどうでしょうか。市場の方向性がわかっていれば、投資手段の選択は（潜在的に）変わるでしょう。

市場の状況を考慮した利益最大化の期待:

${\displaystyle {\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}=0.5\times 1500+0.3\times 600+0.2\times 500=1030}$

つまり、それぞれの市場の方向性を考慮して、利益を最大化する投資手段を選択します。

したがって、

${\displaystyle {\mbox{EVPI}}={\mbox{EV}}|{\mbox{PI}}-{\mbox{EMV}}=1030-680=350.}$

結論：

市場の方向性を知ること（つまり、完全な情報を持つこと）は 350 ドルの価値があります。

議論：

もし誰かが将来の市場の方向性を正確に予測することを保証する情報を販売していたら、その価格が 350 ドル未満の場合にのみその情報を購入したいと考えるでしょう。価格が 350 ドルを超える場合はその情報を購入せず、価格が 350 ドル未満の場合はその情報を購入します。価格がちょうど 350 ドルの場合、私たちの決定は無駄になります。

情報の価格が 349.99 ドルで、それを購入したとします。その場合、1030 - 349.99 = 680.01 > 680 の利益が期待できます。したがって、情報を購入することで、情報を購入しなかった場合よりも 0.01 ドル多く利益を上げることができます。

情報の価格が 350.01 ドルで、それを購入したとします。その場合、1030 - 350.01 = 679.99 < 680 の利益が期待できます。したがって、情報を購入することで、情報を購入しなかった場合と比較して 0.01 ドルの損失が発生します。

情報の価格が 350.00 ドルで、それを購入したとします。その場合、1030 - 350.00 = 680.00 = 680 の利益が期待できます。したがって、情報を購入しても、購入しなかった場合と比べて、情報を購入することによる利益も損失もありません。

注: 実際の例として、お金を使って商品を購入するにはコスト (金銭の時間価値) がかかるため、これも考慮する必要があります。

EVPI には常に当てはまるいくつかの特性があります。

• 意思決定者は常に追加情報を無視し、そのような情報が存在しないかのように決定を下すことができるため、情報の価値がゼロ未満になることはありません。
• EVPI によって定量化された情報よりも価値のある情報収集/共有活動は他にありません。
• 2つの選択肢とランダム変数の2つの可能な結果を​​伴う決定問題では、EVPIは各結果における報酬の最大差の半分を超えることはできません。^[3]

• サンプル情報の期待値
• 不確実性を考慮した場合の期待値