ユータクティックスター

ユークリッド幾何学において、ユータクティック スターはユークリッド空間内の幾何学的図形です。スターは、中心原点から発する任意の数の相対するベクトル(または腕) のペアで構成される図形です。スターがユータクティックであるとは、高次元空間からサブスペースへの標準基底ベクトル (つまり、交差多面体の頂点) の集合の正と負の直交投影である場合に該当します。このようなスターは、共通のスカラー倍数に対して、そのベクトルが正規直交基底の投影となるため、Schläfli (1901、p. 134) によって「ユータクティック」 (「よく位置している」または「よく整っている」という意味) と呼ばれました。^[1]

ここで、星は、n ≤ s 次元のユークリッド空間内の特定の原点から発する 2 s ベクトル A = ± a 1 、...、± a s の集合として定義されます。a i が 、ユークリッドs次元空間 内の_特定の原点_から発する互いに直交する等しい_ベクトルb 1、... _、 b s_の集合のn次元への射影である場合、星はユータクティックです。^[2] s次元空間B  = ± b ₁、...、± b _sにおける 2 sベクトルの構成は、十字として知られています。これらの定義から、ユータクティック星は、簡潔に言えば、十字の直交射影によって生成される星です。

シュレーフリ^[3]によって最初に言及された同等の定義は、定数ζが存在し、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{s}(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {v} )^{2}=\zeta |\mathbf {v} |^{2 }}$

あらゆるベクトルvに対して、このような定数が存在するためには、 直線上のAの直交射影の二乗の和がすべての方向で等しくなる必要がある。 ^[4]一般に、

${\displaystyle \zeta =\sum _{k=1}^{s}|\mathbf {a} _{k}|^{2}/n.}$

正規化されたユータクティックスターは、単位ベクトルで構成される投影された十字です。^{[2] [5]ユータクティックスターは、}正多面体 の研究との関連から、n = 3次元 で考慮されることがよくあります。

Tをベクトルxに対して 定義される対称 線形変換とする。

${\displaystyle T\mathbf {x} =\sum _{k=1}^{s}\mathbf {a} _{k}(\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {x} ), }$

ここで、a _{j は}n次元ユークリッド空間内の任意のsベクトルの集合を形成します。ハドヴィガーの主定理は、ベクトル ± a ₁、...、± a _{s が}ユータクティックスターを形成するのは、任意のxに対してT x = ζ xとなる定数ζが存在する場合のみであるとしています。^{[2] [6]} Tが恒等演算子である場合、つまりζ = 1 の場合に、 ベクトルは正確に正規化されたユータクティックスターを形成します 。

同様に、行列 A  = [ a ₁ ... a _s ] （列はベクトルa _{k ）}が正規直交行を持つ場合のみ、星は正規化ユータクティックです。証明は、一方の方向ではこの行列の行を の正規直交基底に完成させることによって、もう一方の方向では最初のn個の直交座標ベクトル が張るn次元部分空間に直交投影することによって行うことができます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}}$

ハドヴィガーの定理は、偏光恒等式によって、シュレーフリの規定とユータクティック星の幾何学的定義の同値性を意味します。さらに、シュレーフリの恒等式とハドヴィガーの定理はどちらも定数ζの同じ値を与えます 。

ユータクティックスターは、多面体の幾何学や直交変換群との関係から、主に有用である。シュレーフリは、任意の正多面体の中心から頂点へのベクトルがユータクティックスターを形成することを早くから示した。ブラウアーとコクセターは、次の一般化を証明した。^[7]

反対のベクトルのペアに推移的に作用する直交変換の既約なグループによって、星がそれ自身に変換される場合、その星はユータティックです。

ここでの既約群とは、いかなる非自明な固有部分空間も不変にしない群を意味する（既約表現を参照）。2つのユータクティック星の集合論的和集合はそれ自体ユータクティックであるため（ハドヴィガーの主定理の帰結）、一般に次のように結論付けることができる。^[4]

恒星は、直交変換の既約群によってそれ自身に変換される場合、ユータクティックである。

ユータクティック星は、一般的にあらゆる形態のユータクシーを検証するために使用できます。HSMコクセターによると、「形態がユータクティックであるのは、その最小ベクトルがユータクティック星のベクトルと平行である場合のみです。」^[4]

• ユータクティック格子
• タイトフレーム^[8]

• Schläfli, Ludwig (1901) [1852]、Graf, JH (ed.)、Theorie der vielfachen Kontinuität、コーネル大学図書館歴史数学モノグラフ 2010 年再刊 (ドイツ語)、チューリッヒ、バーゼル: Georg & Co.、ISBN 978-1-4297-0481-6