数論 において、オイラー予想は フェルマーの最終定理 に関連する反証された 予想 である。これは1778年にレオンハルト・オイラーによって サンクトペテルブルク科学アカデミー に提出された。この予想は、1より大きいすべての整数 n とkについて、 n 個の正の整数のk 乗の和がそれ自体k 乗であるならば、nは k 以上である、と述べている。
1 1 k + 1 2 k + ⋯ + 1 n k = b k ⟹ n ≥ k {\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}
この予想は、フェルマーの最終定理を一般化しようとする試みであり、n = 2 の1 1 k + 1 2 k = b k 、 {\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},} 2 ≥ k となる 。
この予想はk = 3 のk = 4k = 5の場合は反証された。k ≥ 6 の 任意
背景 オイラーは、4乗の和を含む等式59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 を認識していました。 [ 1 ] [ 2 ] 反例にはなりません。彼はまた、 プラトンの数 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 やタクシー番号 1729のような、4 個の立方体の問題に対する完全な解も提供しました。 [ 3 ] [ 4 ] x 1 3 + x 2 3 = x 3 3 + x 4 3 {\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}} x 1 = λ （ 1 − （ 1 − 3 b ） （ 1 2 + 3 b 2 ） ） x 2 = λ （ （ 1 + 3 b ） （ 1 2 + 3 b 2 ） − 1 ） x 3 = λ （ （ 1 + 3 b ） − （ 1 2 + 3 b 2 ） 2 ） x 4 = λ （ （ 1 2 + 3 b 2 ） 2 − （ 1 − 3 b ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\[2pt]x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\[2pt]x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\[2pt]x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}} 、a 、b 、λ {\displaystyle {\lambda }}
この予想は1778年に発表されたが、オイラーの死後に出版された。[ 1 ] [ 2 ]
反例 オイラーの予想は、1966年にLJランダー とTRパーキンによって反証された。彼らは CDC 6600上で直接コンピュータ検索を行い、 k = 5[ 5 ] [ 5 ] 項が 共通因数 を持たない）反例が知られている。 144 5 = 27 5 + 84 5 + 110 5 + 133 5 14132 5 = （ − 220 ） 5 + 5027 5 + 6237 5 + 14068 5 85359 5 = 55 5 + 3183 5 + 28969 5 + 85282 5 1956878 5 = 719115 5 + 1331622 5 + （ − 1340632 ） 5 + 1956213 5 {\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\\1956878^{5}&=719115^{5}+1331622^{5}+(-1340632)^{5}+1956213^{5}\end{aligned}}}
1988年、ノーム・エルキースは k =4[ 6 ] 20615673 4 = 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 。 {\displaystyle 20615673^{4}=2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}.}
エルキースの解の特定のケースは、恒等式に帰着することができる[ 7 ] [ 8 ] （ 85 v 2 + 484 v − 313 ） 4 + （ 68 v 2 − 586 v + 10 ） 4 + （ 2 u ） 4 = （ 357 v 2 − 204 v + 363 ） 4 、 {\displaystyle (85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},} u 2 = 22030 + 28849 v − 56158 v 2 + 36941 v 3 − 31790 v 4 。 {\displaystyle u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.} v 1 = − 31 / 467 有理点 を持つ楕円曲線 です。この最初の有理点から、無限個の他の有理点を計算できます。v 1 を
1988年、ロジャー・フライは 可能な限り最小の反例を発見した。 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 {\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}} k = 4[ 9 ] [ 10 ]
一般化 プラトンの数の解釈の一つは、3³ + 4³ + 5³ = 6³ である 。 1967年、LJ Lander、TR Parkin、John Selfridge は、 もし
∑ 私 = 1 n 1 私 k = ∑ j = 1 m b j k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} ここでa i ≠ b j は 1 ≤ i ≤ n および1 ≤ j ≤ m のすべての正の整数であり、m + n ≥ k m = 1
∑ 私 = 1 n 1 私 k = b k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}} （上記の条件の下で）n ≥ k − 1
この 分割 する問題として説明できます。k = 4、5、7、8 、n = k k − 1 の場合、多くの既知の解が存在します。その一部を以下に示します。
詳細については、OEIS : A347773
k = 3フェルマーの最終定理から、解は存在しないことがわかります。1 3 + b 3 = c 3 {\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}} 9 3 − 8 3 − 6 3 = 1 {\displaystyle 9^{3}-8^{3}-6^{3}=1} a = (1, 6, 8), b = 9) の解を与えるが、最小の要素は 1 より大きくない。
項数が 1 より大きい最小の解は 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}} プラトンの数216）これは、 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン の公式[ 12 ] a = 1b = 0の（ 3 1 2 + 5 1 b − 5 b 2 ） 3 + （ 4 1 2 − 4 1 b + 6 b 2 ） 3 + （ 5 1 2 − 5 1 b − 3 b 2 ） 3 = （ 6 1 2 − 4 1 b + 4 b 2 ） 3 {\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}}
3 つの立方体の合計としての立方体は、次の 2 つの方法のいずれかでパラメータ化することもできます。[ 12 ] 1 3 （ 1 3 + b 3 ） 3 = b 3 （ 1 3 + b 3 ） 3 + 1 3 （ 1 3 − 2 b 3 ） 3 + b 3 （ 2 1 3 − b 3 ） 3 1 3 （ 1 3 + 2 b 3 ） 3 = 1 3 （ 1 3 − b 3 ） 3 + b 3 （ 1 3 − b 3 ） 3 + b 3 （ 2 1 3 + b 3 ） 3 。 {\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\[6pt]a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}.\end{aligned}}} 2,100,000 3 という数は、3 つの正の立方数の和として 9 通りの異なる方法で表すことができます。[ 12 ]
k = 4422481 4 = 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 353 4 = 30 4 + 120 4 + 272 4 + 315 4 {\displaystyle {\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\[4pt]353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}} [ 6 ] [ 11 ]
k = 5144 5 = 27 5 + 84 5 + 110 5 + 133 5 72 5 = 19 5 + 43 5 + 46 5 + 47 5 + 67 5 94 5 = 21 5 + 23 5 + 37 5 + 79 5 + 84 5 107 5 = 7 5 + 43 5 + 57 5 + 80 5 + 100 5 {\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\[2pt]72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\[2pt]94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\[2pt]107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}}
(Lander & Parkin、1966); [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 11 ] [ 11 ] [ 11 ]
k = 62002年以来、最終項が ≤ 730000 であるk = 6[ 16 ]
k = 7568 7 = 127 7 + 258 7 + 266 7 + 413 7 + 430 7 + 439 7 + 525 7 {\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}
(M. ドドリール、1999) [ 17 ]
k = 81409 8 = 90 8 + 223 8 + 478 8 + 524 8 + 748 8 + 1088 8 + 1190 8 + 1324 8 {\displaystyle 1409^{8}=90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}}
(S. チェイス、2000) [ 18 ]
参考文献 1 2 オイラー、レオンハルト。「解決策の数理による diophanteae ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) 」。Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 。13 ：45～ 63 1 2 Ehlers, Georg (2023). "有理数を用いたディオファントス方程式 ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) の解". Euleriana . 3 (2): 81– 123. doi : 10.56031/2693-9908.1041 . ↑ ダナム、ウィリアム編 (2007). オイラーの天才：その生涯と業績に関する考察 . MAA. p. 220. ISBN 978-0-88385-558-4 。↑ Titus, III, Piezas (2005). "Euler's Extended Conjecture" . 1 2 Lander, LJ; Parkin, TR (1966). "同類べき乗の和に関するオイラー予想に対する反例" . Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 . 1 2 Elkies, Noam (1988). "On A 4 + B 4 + C 4 = D 4 " (PDF) . Mathematics of Computation . 51 (184): 825– 835. doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . JSTOR 2008781 . MR 0930224 . ↑ "エルキーの a 4 + b 4 + c 4 = d 4 " 。 ↑ ピエザス III、ティト (2010)。 「3つの4乗の和（パート1）」 。 代数恒等式のコレクション 。 2022年 4月11日 取得。 ↑ Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications , pp. 106– 116, doi : 10.1109/SUPERC.1988.74138 , S2CID 58501120 ↑ Sloane, N. J. A. (編). "数列 A003828 (k^4 が 3 つの正の 4 乗の原始和となるような数 k)" . オンライン 整数列百科事典 . OEIS Foundation. 1 2 3 4 5 Lander, LJ; Parkin, TR; Selfridge, JL (1967). "A Survey of Equal Sums of Like Powers" . Mathematics of Computation . 21 (99): 446– 459. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . JSTOR 2003249 . 1 2 3 "MathWorld : ディオファントス方程式 - 3 乗" . ↑ Burkard Polster (2018年3月24日)。 「オイラーの最終定理とフェルマーの最終定理、シンプソンズとCDC6600」 。YouTube (動画)。 2021年12月11日のオリジナルから アーカイブ 。 2018年3月24日 閲覧 。 ↑ 「MathWorld: ディオファントス方程式 - 5 乗」 。 ↑ 「5乗の和に等しい5乗の表」 。 ↑ ジョヴァンニ・レスタとジャン＝シャルル・メイリニャック（2002）。ディオファントス方程式の最小解1 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}} さらなる研究の セクションを参照）。 ↑ 「MathWorld: ディオファントス方程式 - 7 乗」 。 ↑ 「MathWorld: ディオファントス方程式 - 8 乗」 。
外部リンク Tito Piezas III、「代数的恒等式のコレクション」、 2011年10月1日にWayback Machine に アーカイブされました。 ヤロスワフ・ヴロブレフスキ著『同類のべき乗の等しい和』 エド・ペッグ・ジュニア、数学ゲーム、パワーサムズ ジェームズ・ウォルドビー著『五乗に等しい五乗の表』（2009年） R. Gerbicz 、J.-C. Meyrignac、U. Beckert、 「分散型Boincプロジェクトで見つかった、a 、b 、c 、d 、e 、f 、g < 250000 の場合のディオファントス方程式a 6 + b 6 = c 6 + d 6 + e 6 + f 6 + g 6 の すべての解」EulerNet：同次数の最小和を計算する Weisstein, Eric W. 「オイラーのべき乗和予想」 . MathWorld ワイススタイン、エリック W. 「オイラーの4次予想」 . MathWorld Weisstein, Eric W. 「ディオファントス方程式--4乗」 . MathWorld library.thinkquest.org のオイラー予想 Maths Is Good For You! でオイラー予想の簡単な解説をご覧ください！
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\[2pt]x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\[2pt]x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\[2pt]x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3555d6509d4741068f4d6080fb5b774d0b3343)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\[6pt]a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfa9971a0dd6f583d8a366390c003a759e39954)
![{\displaystyle {\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\[4pt]353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7448503b5f8e2fe718e2f69bc1d5183dcc722b6f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\[2pt]72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\[2pt]94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\[2pt]107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e7ef8d47a11f0915ddadf242ef123f5912706c)
