洗練（圏論）

圏論および関連する数学の分野において、洗練とは、局所凸空間のボルノロジー化や飽和のような「内部強化」の操作を一般化する構成です。双対構成はエンベロープと呼ばれます。

がカテゴリ、内のオブジェクト、内の2つの射のクラスであるとします。による内の の精緻化の定義^[1]は、2つのステップから構成されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$

• の射は、 のとき、射のクラスによる射のクラスのオブジェクトの強化と呼ばれます。また、クラスからの任意の射に対して、 となる一意の射がに存在します。${\displaystyle \sigma :X'\to X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma }$${\displaystyle \varphi :B\to X}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \varphi ':B\to X'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \varphi '}$

• 射のクラスによる射のクラス内のオブジェクトの強化は、による でのの洗練と呼ばれる。これは、(による での の)他の強化に対して、 となる唯一の射が存在する場合です。オブジェクトは、による でのの洗練とも呼ばれます。${\displaystyle \rho :E\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \sigma :X'\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \upsilon :E\to X'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \rho =\sigma \circ \upsilon }$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Phi}$

表記:

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{\Phi }^{\Gamma }X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{\Phi }^{\Gamma }X.}$

が、その中のオブジェクトの与えられたクラスに属する範囲を持つすべての射のクラスである特別なケースでは、表記法 (および項) で を に置き換えると便利です。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{\Phi }^{L}X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{\Phi }^{L}X.}$

同様に、 が、その中のオブジェクトの与えられたクラスに属する範囲を持つすべての射のクラスである場合、 の表記法 (および項) で を に置き換えると便利です。${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{M}^{\Gamma }X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{M}^{\Gamma }X.}$

たとえば、オブジェクト のクラスを使用して、オブジェクト のクラスにおけるの洗練${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$について話すことができます。

${\displaystyle \rho =\operatorname {ref} _{M}^{L}X,\qquad E=\operatorname {Ref} _{M}^{L}X.}$

1. 局所凸空間のボルノロジー化^{[2] [3]} は、局所凸空間のカテゴリにおけるノルム空間のサブカテゴリによる洗練である。${\displaystyle X_{\operatorname {born} }}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {LCS} }$${\displaystyle \operatorname {ノルム} }$${\displaystyle X_{\operatorname {born} }=\operatorname {Ref} _{\operatorname {Norm} }^{\operatorname {LCS} }X}$
2. 擬完備^[5]局所凸空間の飽和^{[4] [3]は}、スミス空間のサブカテゴリによる局所凸空間のカテゴリの洗練である。 ${\displaystyle X^{\blacktriangle}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {LCS} }$${\displaystyle \operatorname {スミ} }$${\displaystyle X^{\blacktriangle }=\operatorname {Ref} _{\operatorname {Smi} }^{\operatorname {LCS} }X}$

• 封筒

• Kriegl, A.; Michor, PW (1997)。グローバル解析の便利な設定。プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0780-3。

• Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」.数学科学ジャーナル. 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.

• Akbarov, SS (2016). 「カテゴリのエンベロープとリファインメント、および関数解析への応用」. Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi :10.4064/dm702-12-2015. S2CID  118895911.