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効率性と公平性は、厚生経済学の2つの主要な目標です。一連のリソースと一連のエージェントが与えられた場合、目標は、パレート効率的（PE）かつ羨望のない（EF）方法でリソースをエージェント間で分配することです。この目標は、最初にデイビッド・シュマイドラーとメナヘム・ヤーリによって定義されました。[ 1 ]その後、このような配分の存在は、さまざまな条件下で証明されています。
各エージェントは、すべての財の組み合わせの集合に対して選好関係を持つと仮定する。選好は完全性、推移性、閉性を満たす。言い換えれば、各選好関係は連続効用関数で表すことができる。[ 2 ]： 79
定理 1 (Varian): [ 2 ] : 68すべてのエージェントの選好が凸かつ強単調である場合、PEEF 配分が存在する。
証明：証明は、所得が等しい競争均衡の存在に基づいています。経済内のすべての資源がエージェント間で均等に分配されていると仮定します。つまり、経済の総賦存量がすると各エージェント初期寄付金を受け取る。
選好は凸関数であるため、アロー＝ドブルーモデルは競争均衡が存在することを示唆する。すなわち、価格ベクトルが存在する。そして仕切りすなわち、以下の通りである。
このような割り当ては常にEFである。証明：(EI)条件により、すべてのしたがって、(CE)条件により、。
選好は単調であるため、そのような配分はすべてPE（偏微分方程式）となる。なぜなら、単調性は局所的な非飽和を意味するからである。厚生経済学の基本定理を参照のこと。
すべての例は、財xと財yの2つと、アリスとボブの2人の主体が存在する経済を扱っています。すべての例において、効用関数は弱凸かつ連続です。
A.多数のPEEF配分：総賦存量は（4,4）です。アリスとボブは、代替財を表す線形効用を持っています。
効用は弱凸かつ強単調であることに注意してください。多くの PEEF 配分が存在します。アリスが x を 3 単位以上受け取ると、彼女の効用は 6 となり、ボブを羨ましく思いません。同様に、ボブが y を 3 単位以上受け取ると、彼はアリスを羨ましく思いません。したがって、配分 [(3,0);(1,4)] は効用が (6,9) の PEEF です。同様に、配分 [(4,0);(0,4)] と [(4,0.5);(0,3.5)] は PEEF です。一方、配分 [(0,0);(4,4)] は PE ですが EF ではありません (アリスはボブを羨ましく思っています)。配分 [(2,2);(2,2)] は EF ですが PE ではありません (効用は (6,6) ですが、例えば (8,8) に改善できます)。
B.基本的に単一のPEEF配分：総賦存量は（4,2）です。アリスとボブは、補完財を表すレオンチェフ効用を持っています。
効用は弱凸で弱単調であることに注意してください。それでもPEEF割り当ては存在します。均等割り当て[(2,1);(2,1)]は効用ベクトル(1,1)を持つPEEFです。EFは明らかです(すべての均等割り当てはEFです)。PEに関しては、両方のエージェントがyだけを欲しがっているため、エージェントの効用を増やす唯一の方法は、他のエージェントからyを取ることですが、これは他のエージェントの効用を減少させます。他のPEEF割り当て、たとえば[(1.5,1);(2.5,1)]がありますが、両方のエージェントに1を超える値を与えることはできないため、すべて同じ効用ベクトル(1,1)を持ちます。[ 3 ]
エージェントの選好が凸型でない場合でも、PEEF配分は存在する。特定の効率的な効用プロファイルに対応する配分の集合の形状に関連する十分条件がいくつか存在する。効用ベクトルuが与えられたとき、A(u)を効用プロファイルがuであるすべての配分の集合と定義する。以下のより一般的な定理は、異なる著者によって順次証明された。
定理 2 (Varian): [ 2 ] : 69すべてのエージェントの選好が強単調であると仮定します。すべての弱パレート効率的な効用プロファイル uに対して、集合 A(u) が単一集合である場合(つまり、すべてのエージェントがそれらの間で無差別となるような 2 つの WPE 配分が存在しない)、PEEF 配分が存在します。
証明にはKnaster-Kuratowski-Mazurkiewicz の補題を使用します。
注: 定理 1 と定理 2 の条件は独立しており、どちらも他方を意味しません。ただし、選好の厳密凸性は両方を意味します。厳密凸性が弱凸性を意味することは明らかです (定理 1)。それが定理 2 の条件を意味することを示すために、効用プロファイル u が同じ 2 つの異なる配分 x、y があると仮定します。z = x/2+y/2 と定義します。厳密凸性により、すべてのエージェントは x と y よりも z を厳密に好みます。したがって、x と y は弱 PE になり得ません。
定理 3 (スヴェンソン): [ 4 ]すべてのエージェントの選好が強単調であり、すべての PE 効用プロファイル u に対して集合 A(u) が凸である場合、PEEF 配分が存在する。
この証明では、角谷不動点定理を用いる。
注：すべてのエージェントの選好が凸である場合（定理1参照）、A(u)も明らかに凸である。さらに、A(u)が単一集合である場合（定理2参照）、A(u)も明らかに凸である。したがって、スヴェンソンの定理は、ヴァリアンの2つの定理よりも一般的である。
定理 4 (ディアマンタラス): [ 5 ]すべてのエージェントの選好が強単調であり、すべての PE 効用プロファイル u に対して、集合 A(u) が縮約可能な空間(その空間内の点に連続的に縮小できる) である場合、PEEF 配分が存在する。
この証明では、アイレンバーグとモンゴメリーによる不動点定理が用いられている。[ 6 ]
注：すべての凸集合は可縮であるため、ディアマンタラスの定理は前述の3つの定理よりも一般的である。
スヴェンソンは、PEEF配分が存在するためのもう一つの十分条件を証明した。ここでも、すべての選好は連続効用関数で表される。さらに、すべての効用関数は消費空間の内部で連続微分可能である。
主な概念はシグマ最適性です。各エージェントについて、同一の選好を持つk個のコピーを作成するとします。Xを元の経済における配分とします。Xkをk個のコピーからなる経済における配分とします。この経済では、同じエージェントのすべてのコピーが、Xにおける元のエージェントと同じバンドルを受け取ります。配分Xは、すべてのkについて、配分Xkがパレート最適である場合に、シグマ最適であると呼ばれます。
補題: [ 7 ] : 528配分がシグマ最適であるのは、それが競争均衡である場合に限る。
定理 5 (スヴェンソン): [ 7 ] : 531すべてのパレート最適配分がシグマ最適である場合、PEEF 配分が存在する。
生産があり、かつ技術が限界収益逓増の法則を満たす場合、すべての選好が凸型であっても、PEEF配分は存在しない可能性がある。
命題 6 (Vohra) : [ 8 ]すべての選好が連続的かつ強単調で凸であり、技術における非凸性の唯一の原因が固定費によるものであり、PEEF 配分が存在しない経済が存在する。
このように、収穫逓増の法則が存在すると、効率性と公平性の間に根本的な矛盾が生じる。
しかし、羨望フリー性は次のように弱められる可能性があります。割り当てXは、すべてのエージェントiに対して、同じ効用プロファイル（すべてのエージェントがXとYiの間で無差別である）を持ち、かつエージェントiが誰にも羨望を抱かない実行可能な割り当てYiが存在する場合、本質的に羨望フリー（EEF）であると定義されます。明らかに、すべてのEF割り当てはEEFです。なぜなら、すべてのiに対してYiをXとすることができるからです。
定理 7 (Vohra): [ 8 ]すべてのエージェントの選好が強単調であり、連続効用関数で表されると仮定します。このとき、パレート効率的な EEF 配分が存在します。
選好が非凸である場合、生産がなくてもPEEFの配分は存在しない可能性がある。
例えば、総保有量が（4,2）であり、アリスとボブが同一の凹型効用関数を持つと仮定します。
均等配分 [(2,1);(2,1)] は、効用ベクトルが (2,2) の EF です。さらに、すべてのEF 配分は、両方のエージェントに等しい効用を与える必要があります (効用関数が同じであるため)。この効用は最大で 2 です。しかし、効用ベクトルが (4,2) である配分 [(4,0);(0,2)] によってパレート支配されるため、そのような配分は PE ではありません。
たとえ羨望のない状態を支配のない状態にまで弱めたとしても、非存在は残る――つまり、どの主体も他の主体より多くの財を得ることはない。
命題8 (マニケ): [ 9 ]厳密に単調で連続的、さらには微分可能な選好を持つ 2 財 3 エージェント分割経済が存在し、すべてのパレート効率的な配分において支配が存在する。
2人のエージェントの場合、調整済み勝者手順は、2つの追加特性を持つPEEF配分を見つける単純な手順です。その特性とは、配分が公平であること、そして2人のエージェント間で共有される財が最大で1つであることです。
線形効用を持つ3人以上のエージェントの場合、任意のナッシュ最適配分はPEEFである。ナッシュ最適配分とは、エージェントの効用の積、あるいは同等に効用の対数の合計を最大化する配分である。このような配分を見つけることは、凸最適化問題である。
。
そのため、効率的に見つけることができます。ナッシュ最適配分がPEEFであるという事実は、より一般的な公平なケーキカットの設定でも当てはまります。[ 10 ]
証明：極めて小さなケーキの切れ端Zを考えます。各エージェントiについて、 Zの極めて小さな寄与は は
。
したがって、ナッシュ最適ルールでは、このような各ピースZを、次の式が最大となるエージェントjに割り当てます。
X jのすべての無限小部分集合について合計すると、次のようになります。
これは、羨望のない配分の定義を意味する。
![\displaystyle \forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf6e94451a716a13e850e3ddd7d4ac3556e307b)
![{\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6bef11b12c4f5a1dada2db4939eeb2277be12a)
![{\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geq {u_{i}(X_{j})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88e28ee00f0e9babb72d77f56edc3f7e53113e8)