エッジワースの極限定理

エッジワースの極限定理は、フランシス・イシドロ・エッジワースにちなんで名付けられた経済定理であり、主体の数が無限に増加すると、経済の中核はワルラス均衡の集合に縮小することを述べています。

つまり、人々の集団間の自由市場交換や物々交換から生じる可能性のあるすべての結果の中で、当事者間の最終決済（商品の最終的な分割）の正確な場所は一意に決定されないものの、取引者の数が増加するにつれて、すべての可能性のある最終決済の集合はワルラス均衡の集合に収束します。

直感的には、経済が大きくなるにつれて、交渉力があっても、エージェントはますます価格受容エージェントのように行動するようになる、と解釈できるかもしれません。

エッジワース (1881) は定理を推測し、必要な直感のほとんどを提供し、証明にある程度貢献しました。^[1]正式な証明は、デブリューとスカーフ(1963) ^[2]およびオーマン(1964) ^[3]によって異なる仮定の下で提示され、どちらもエッジワースが推測したものよりも厳しい条件の下で証明されました。デブリューとスカーフは、「レプリカ経済」のケースを検討しました。このケースでは、エージェントの種類が有限であり、経済を「大きく」するために追加されたエージェントは、すでに存在するエージェントと同じ種類で、同じ割合です。オーマンの結果は、エージェントの連続体の存在に依存していました。

経済のコアとは、協力ゲーム理論の概念で、経済の消費者の集合のサブセット (連合) によって改善することができない、経済における実行可能な割り当ての集合として定義されます。一般均衡経済の場合、通常、コアは空ではありません (実行可能な割り当てが少なくとも 1 つあります) が、要件を満たす実行可能な割り当ての連続体が存在する可能性があるという意味で「大きい」ものでもあります。この予想は基本的に、エージェントの数も「大きい」場合、コア内の割り当ては競争市場が生み出すものとまったく同じであると述べています。したがって、この予想は、一般均衡理論における価格受容エージェントの通常の仮定にゲーム理論的な基礎を提供するものと見なされています。特に、これは「大きな」経済では、理論上は価格を設定し、取引を再交渉するすべての権限を持っているにもかかわらず、人々は価格受容者であるかのように行動することを意味します。したがって、架空のワルラス派の一般均衡の競売人は、厳密に言えば完全に非現実的であるものの、正しい答えを得るための「近道」と見なすことができます。

フランシス・イシドロ・エッジワースは、後に極限定理として知られるようになる定理を、著書『数学的心理学』（1881 年）で初めて説明しました。彼は、現在エッジワース ボックスとして知られる定理の変形（関連する軸に所有量ではなく取引量を記載）を使用して、さまざまな規模のトレーダー グループ間の取引を分析しました。一般的に、彼は「競争のない契約は不確定であり、完全競争のある契約は完全に確定的であり、完全競争の程度が増減する契約は不確定または不確定である」ことを発見しました。

2 つの財X と Y の取引が 1 組のトレーダーA と B の間で行われる場合、この取引の潜在的な結果はエッジワース ボックスで示すことができます (図 1 )。この図では、A と B はそれぞれ最初に X と Y の全在庫を所有しています (点 E)。線 U(a) と U(b) はA と B の無差別曲線で、最初の保有量に等しい効用をもたらす財の組み合わせを表す点を通っています。ここでの取引は強制的ではないと想定されているため、どちらのトレーダーも最終和解で当初よりも不利になることには同意せず、したがって U(a) と U(b) は可能な和解の外側の境界を表します。エッジワースは、トレーダーが最終的に契約曲線上の点(C と C' の間) に到達することを、再契約プロセスと呼ばれる様式化された交渉プロセスを通じて実証しました。契約曲線上の点では、どちらか一方が得をしても他方が損をしないので、トレーダーが契約曲線上の点に合意すれば、これが最終的な決済となります。契約曲線上のどこで最終的な決済が行われるかは正確にはわかりません。それは、2 人の間の交渉プロセスによって決まります。交渉中に有利な立場に立つことができた側は、商品の価格を高く設定でき、その結果、取引からより大きな利益を得ることができます。

これがエッジワース氏の主な発見でした。2 人の間の取引の結果は、ある範囲内で予測できますが、正確な結果は不確定です。

この最初のペアに、同一のトレーダーのペアがもう 1 組追加されたとします。これらの新しいトレーダーは最初のペアと同一であるため、同じエッジワース ボックスを使用して交換を分析できます。取引の新しい外側の限界を調べるために、エッジワースは、2 人の間の取引の限界 (図 2の点 C または C' ) で取引が行われる状況を検討しました。取引が点 C で行われると、B の 1 人 (B(1) とする) が取引による利益をすべて受け取ります。B(1) と取引する A (A(1) とする) は、現在、商品 X と Y のミックスを持っており、A(2) と取引できます。2 人の A は同一であるため、取引後の賦存量を 2 人で均等に分割することに合意し、図 2の点 P に配置されます。これにより、そうでない場合よりも高い効用が得られます (無差別曲線 U(a) ではなく U'(a))。 B(2) は、A に商品のより良い価格を提示し、その価格で取引する機会と強いインセンティブを得て、B(1) を置き去りにします。B が A により良い価格を提示するために互いに競争するこのプロセスは、A が P での取引と契約曲線での取引に無差別になるまで続きます (図 3 )。同じ論理は、A(1) が最初に取引からすべての利益を受け取る場合にも適用でき、U(b) によって与えられる最も外側の制限も内側に移動することがわかります。これは市場の縮小コアと呼ばれ、トレーダーのペアが追加されるにつれて、取引の実行可能な範囲が縮小します。

3組目のトレーダーが加わると、市場の中核はさらに縮小します。取引がB(1)が取引から得られる利益をすべて得る限界で行われる場合、点PはEC線に沿って3分の2の地点になります。これにより、BがAと取引するために競争するにつれて、より高い無差別曲線に乗ることができるAの交渉力が向上します。複数のトレーダーのペアが存在する場合の最終決済の外側の限界は、一般化できます(図4 )。ここで、K = (n-1)/nです。

十分な数のトレーダーがいる場合、市場の中核は縮小し、最終決済点が完全に決定されます（図5 ）。この点は、完全競争モデルで取引が行われると想定される価格受容均衡に等しくなります。

この分析は、同一ではないトレーダーや、純粋に利己的ではない動機を持つトレーダー、およびトレーダーの 1 つのグループが他のグループよりも大きい状況に対応するように変更できます。トレーダーが異質である場合、ポイント P はトレーダーのグループ間の「差額を分ける」取引を反映せず、この点によって決定される取引の外側の制限はそれに応じて変更されます。1 人のトレーダーの効用が別のトレーダーの効用に影響を与える場合 (つまり、後者が利己的ではない場合)、契約曲線の関連する制限は内側に縮小し、最も不公平な取引を除外します。トレーダーのグループのサイズが異なる場合、契約曲線の外側の制限は均等に縮小しません。

• 協力的な交渉