デュアンの仮説

1923年、アメリカの物理学者ウィリアム・デュアンは結晶格子によるX線光子の反射の離散運動量交換モデル^[1]を発表しました。デュアンは、このモデルが波動回折モデルで計算された散乱角と同じ散乱角を与えることを示しました（ブラッグの法則を参照） 。

デュアンの仮説の重要な特徴は、格子構造のみに基づく単純な量子規則によって、結晶格子と入射粒子の間で交換できる運動量の量子が決定されるという点です。

実際には、観測された散乱パターンは、結晶の可能な反応が量子化され、入射光子が自由粒子として動作するモデルによって再現されます。これは、入射粒子が波として動作し、その後、波が多くの可能な結果の 1 つに「崩壊」するモデルとは対照的です。

デュアンは、結晶の散乱が運動量の量子化によって説明される方法は、ブラッグの法則のような古典波による回折に基づくモデルでは説明できないと主張した。

デュアンは彼の仮説を応用して結晶によるX線の散乱角を導き出しました。その後、デュアンが提唱した原理は、格子における光散乱や電子の回折にも正しい関係を与えることが分かりました。^[2]

回折の初期の頃は、検出器が非効率的で、光源の強度も低かったため、細かい部分を観察することができませんでした。そのため、ブラッグの法則が唯一の観察可能な回折法則であり、デュアンのアプローチはそれをモデル化することができました。現代の電子顕微鏡とX線回折装置は桁違いに明るく、彼のアプローチでは説明できない電子回折とX線回折の詳細が現在では多く発見されています。^{[3] [4] [5] [6]}そのため、彼のアプローチはもはや使用されていません。

1905年、アルバート・アインシュタインは、光線が離散粒子（光子）の流れで構成され、各粒子がエネルギー（E = hf）を持ち、各光子のエネルギー（E）が周波数（f）にプランク定数（h）を掛けたものに等しいとすれば、光電効果を説明できるという仮説を提示した。^[7] その後、1916年にアルバート・アインシュタインは、光子の放出と吸収の際の分子の反動が、熱放射プロセスの量子的な記述と一致し、必要であることも示した。各光子は、そのエネルギーを光速で割った値（p = E/c ）に等しい運動量インパルスpを与えるかのように動作する。^[8]

1925年、量子力学の完全な数学的記述が開発される少し前に、ボルンは当時新しいアイデアだった「ド・ブロイ波」にアインシュタインの注意を引いた。彼は「これらのアイデアと、コンプトンとデュアンが提唱し、エプスタインとエーレンフェストがさらに綿密に研究した『空間』量子化を用いた反射、回折、干渉の別の神秘的な説明との間には、完全に形式的なつながりがあるように私には思える」と書いている。^{[9] [10] [11]}結晶によるX線回折を説明する量子化された並進運動量移動に関するデュアンの仮説^[1]と、そのコンプトンによる後続の仮説^[12] を検討して、エプスタインとエーレンフェストは「フラウンホーファー回折の現象は、光の波動理論に基づいても、光量子の概念とボーアの対応原理の組み合わせによっても扱うことができる」と書いている。後にボーン氏とビエム氏は「すべての物理学者はデュアンの法則を受け入れなければならない」と書いた。^[13]

デュアンの1923年の仮説、古い量子論、および波長と周波数をエネルギーと運動量に結び付けるド・ブロイの関係を用いて、物質粒子の回折を説明する。^{[14] [15] [16] [17]}

グレゴリー・ブライトは1923年に、古い量子論のフーリエ解析によって調べられたこのような量子並進運動量移動は、たった2つのスリットによる回折でも説明できることを指摘した。^[18]最近では、この参考文献の写真に見られるように、2つのスリットによる粒子回折は、電子回折パターンの単一粒子の蓄積によって実験的に実証されており^{[19] [20]}、ヘリウム原子と分子でも実証されている。^[21]

波長λの波が、角度θで、特徴的な方向にある結晶原子面の配列に入射し、特徴的な距離dで分離されます。ビームの 2 つの光線は、距離ndで分離された平面から反射されます。ここで、n は分離面の数を表し、回折次数と呼ばれます。θが

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda \,,}$

すると、反射光線の間に建設的干渉が生じ、干渉パターンで観察されることがあります。これがブラッグの法則です。

同じ現象を別の観点から見ると、角度θで結晶原子面の同じ配列に入射する運動量pの粒子ビームによって説明できます。n 個のこのような原子面の集合が粒子を反射し、反射面に垂直な方向の運動量特性Pとして、粒子に運動量nP を伝達すると想定されます。結晶は質量が大きいため、反射は弾性であり、運動エネルギーの伝達は無視できます。反射面に垂直な方向の粒子の初期運動量はp sin θでした。反射の場合、その方向の粒子の運動量の変化は2 p sin θでなければなりません。したがって、

${\displaystyle 2p\sin \theta =nP\,.}$

これは、 θが次の条件を満たす 場合、回折パターンの観測されたブラッグ条件と一致する。

${\displaystyle p/d=P/\lambda }$または${\displaystyle p\lambda =Pd\,.}$

pは粒子の視点の情報を提供し、λは波の視点の情報を提供することは明らかです。量子力学が発見される前に、ド・ブロイは1923年に物質粒子の粒子視点情報と波の視点情報を相互変換する方法を発見しました。 ^{[22] [23]}プランク定数を使用して、アインシュタインの光子の公式を思い出してください。

${\displaystyle p\lambda =h\,.}$

したがって、関心のある結晶面の 並進運動量Pの特性量子は次のように与えられる。

${\displaystyle P=h/d\,.}$^{[24] [25]}

ボールティンによれば、デュアンの量子並進運動量移動の提案はもはや特別な仮説として必要とされず、むしろ量子力学の定理として予測されている。^[26]これは現代の他の著者によっても量子力学の観点から提示されている。^{[27] [28] [29] [30] [31] [32]}

ベクトル量 である並進運動量を持つ粒子を考えることができます。${\displaystyle {\vec {p}}}$

初期運動量 を持つ2つの衝突粒子の散乱の最も単純な例では、最終運動量 となる。運動量移動は次のように表される。 ${\displaystyle {\vec {p}}_{i1},{\vec {p}}_{i2}}$${\displaystyle {\vec {p}}_{f1},{\vec {p}}_{f2}}$

${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {p}}_{i1}-{\vec {p}}_{f1}={\vec {p}}_{f2}-{\vec {p}}_{i2}}$

ここで最後の恒等式は運動量保存を表す。^[33]

回折において、散乱粒子と入射粒子の運動量の差を運動量移動と呼びます。

このような現象は、縮約プランク定数を用いて波の観点からも考えることができる。波数は波ベクトルの絶対値であり、波長と関連している。運動量移動は、多くの場合、長さの逆数の波数単位で表される。${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\vec {k}}={\vec {p}}/\hbar }$ ${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle Q=k_{f}-k_{i}}$

運動量移動は、運動量そのものよりも反応の典型的な距離分解能のより良い尺度である ため、重要な量です。${\displaystyle \Delta x=\hbar /|q|}$

ブラッグ回折は原子結晶格子上で発生します。粒子エネルギーが保存されるため、弾性散乱と呼ばれます。最終粒子と入射粒子の波数、およびはそれぞれ等しくなります。方向のみが格子間隔 との関係で逆格子ベクトルによって変化します。運動量は保存されるため、運動量は結晶運動量に伝達されます。 ${\displaystyle k_{f}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle {\vec {G}}={\vec {Q}}={\vec {k}}_{f}-{\vec {k}}_{i}}$${\displaystyle G=2\pi /d}$

凝縮物質の研究においては、中性子回折、X線回折、電子回折が運動量移動過程として現在一般的に研究されている。^{[34] [35]}

この現象は、いくつかの適切な方法で分析することができる。入射回折物体と出射回折物体は、それぞれ粒子または波として扱うことができる。回折物体は、量子的特徴のないマクロな古典的物体として扱うこともできるし、本質的に量子的な性質を持つ物理的物体として扱うこともできる。これらの分析形式には、8つのケースがあり、いくつかのケースが検討されている。たとえば、シュレーディンガーはコンプトン効果の純粋に波動的な説明を提案した。^{[36] [37]}

古典的な回折器には量子特性がありません。回折の場合、古典物理学では通常、入射波と出射波のケースが考慮され、粒子ビームのケースは考慮されません。粒子ビームの回折が実験によって発見されたとき、多くの著者は、正式にはマクロ実験装置に属する古典的な回折器と、回折を受ける量子オブジェクトに属する波動特性の観点から考え続けるのが適切であると考えました。

1927 年のハイゼンベルクは、古典的な回折装置の観点から考えていたようです。Bacciagaluppi & Crull (2009) によると、1927 年のハイゼンベルクは、「電子は、格子の全体的な特性に依存する離散的な方向にのみ偏向する」ことを認識していました。しかし、これによって、格子の全体的な特性が、回折された電子に明確な軌道を与えるような、対応する量子特性を持つ回折装置になるはずだと考えるに至ったわけではないようです。むしろ、彼は回折を、電子に属する波動特性の必然的な現れと考えていたようです。彼は、電子が回折装置から遠く離れた場所で検出された場合の干渉を説明するために、これが必要であると感じていたようです。^[38]したがって、1927 年のハイゼンベルクは、並進運動量の量子的移動に関するデュアンの仮説の観点から考えていなかった可能性があります。しかし、1930年までにハイゼンベルクはデュアンの仮説を十分に理解し、教科書の中でそれを解説した。^[24]

量子回折器は本質的に量子的な特徴を持つ。これは、古い量子論の時代に、1923年にウィリアム・デュアンによって初めて考案されたもので、アインシュタインの新しい概念に従って、粒子としてのX線の回折を、運動量量子のキャリアとして説明するものであった。回折器は、プランク定数の整数倍の角運動量の移動と密接な類似性を持つ、並進運動量の量子移動を示すものとして想像された。並進運動量の量子は、回折器の空間周期性から生じるグローバルな量子物理的特性によって説明されると提案された。これは、マクロな物理的物体が集団モードをサポートしていると考えられ、 ^[39]たとえばフォノンなどの量子化された準粒子に現れる今日の量子力学的考え方と一致している。正式には、回折器は量子システムに属し、古典的な実験装置には属さない。