スリットからの回折

波に影響を及ぼす回折過程は、定量的な記述と分析が可能である。このような処理は、幅が波長の比率として指定される 1 つ以上のスリットを通過する波に適用され、フレネル近似やフラウンホーファー近似などの数値近似が使用される場合がある。

回折は、遮るもののないすべての経路に沿ったすべての波（特定の波長の）の加算の結果であるため、通常の手順では、特定の経路の周りの極めて小さな近傍の寄与（この寄与は通常、ウェーブレットと呼ばれます）を考慮し、次に、ソースから検出器（または画面上の特定の点）までのすべての経路にわたって積分（すべてのウェーブレットを加算）します。

したがって、回折によって生成されるパターンを決定するには、各ウェーブレットの位相と振幅を計算します。つまり、空間の各ポイントで、入射波面上の各単純ソースまでの距離を決定する必要があります。各単純ソースまでの距離が波長の整数倍異なる場合、すべてのウェーブレットは同位相になり、建設的な干渉が生じます。各ソースまでの距離が波長の整数倍プラス半分である場合、完全に破壊的な干渉が生じます。通常、観測される回折効果を説明するには、これらの最小値と最大値を決定するだけで十分です。

回折の最も単純な説明は、状況を 2 次元の問題に簡略化できるものです。水波の場合、水面のみを伝播するため、これはすでに当てはまります。光の場合、回折物体がその方向に波長よりもはるかに長い距離にわたって広がる場合、1 つの次元を無視できることがよくあります。小さな円形の穴を通過する光の場合は、問題の完全な 3 次元の性質を考慮する必要があります。

回折全般については、いくつかの定性的な観察が可能です。

• 回折パターンの特徴の角度間隔は、回折を引き起こす物体の寸法に反比例します。言い換えると、回折物体が小さいほど、結果として生じる回折パターンは広くなり、その逆もまた同様です。(より正確には、これは角度の正弦に当てはまります。)
• 回折角はスケーリングに対して不変です。つまり、回折角は波長と回折物体のサイズの比のみに依存します。
• 回折物体が周期的な構造を持つ場合、たとえば回折格子の場合、特徴は一般的により鮮明になります。たとえば、4 番目の図は、二重スリットパターンと 5 つのスリットで形成されたパターンの比較を示しています。両方のスリット セットは、1 つのスリットの中心と次のスリットの中心の間の間隔が同じです。

回折波がどのように見えるかを計算する問題は、入射波面上の各単純な光源の位相を決定する問題です。観測点が回折障害物から遠い遠方場またはフラウンホーファー回折の場合を検討する方が数学的には簡単で、その結果、より一般的な近方場またはフレネル回折の場合よりも複雑な数学は少なくなります。このステートメントをより定量的にするために、サイズ の原点にある回折物体を考えてみましょう。明確にするために、光を回折していて、物体から 離れたスクリーン上で強度がどのように見えるかに関心があるとします。スクリーン上のある点では、物体の片側への経路長はピタゴラスの定理によって与えられます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}}$^{[さらなる説明が必要]}

ここで、 の状況を考えると、経路長は になります 。これがフレネル近似です。さらに簡略化すると、回折物体が距離 よりもはるかに小さい場合、最後の項が経路長に与える寄与は波長よりもかなり小さくなり、位相を大きく変化させません。つまり、 です。結果はフラウンホーファー近似であり、これは物体から非常に離れた場所でのみ有効です 。回折物体のサイズ、物体までの距離、波の波長によっては、フレネル近似、フラウンホーファー近似、またはどちらの近似も有効でない場合があります。測定された回折点と遮蔽点の間の距離が増加するにつれて、予測される回折パターンまたは結果は、可視光の波長が非常に短いため自然界でより頻繁に観察されるフラウンホーファー回折のパターンまたは結果に収束します。 ${\displaystyle L\gg (x+a/2)}$$${\displaystyle S\approx \left(L+{\frac {(x+a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^{2}}{8L}}}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\frac {a^{2}}{L}}\ll \lambda }$$${\displaystyle S\approx L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}}$$

スリットが十分に狭い場合、複数のスリット配置は数学的には複数の単純な波源と見なすことができます。光の場合、スリットは 1 次元で無限に広がる開口部であり、これにより 3D 空間の波の問題が 2D 空間のより単純な問題に縮小されます。最も単純なケースは、一定の間隔を置いて配置された 2 つの狭いスリットです。振幅の最大値と最小値を決定するには、最初のスリットと 2 番目のスリットまでの経路差を決定する必要があります。フラウンホーファー近似では、観察者がスリットから遠く離れている場合、2 つのスリットまでの経路長の差は画像から 次のようになります。強度が最大になるのは、この経路長の差が波長の整数倍である場合です。 ${\displaystyle \a}$$${\displaystyle \Delta S={a}\sin \theta }$$

$${\displaystyle a\sin \theta =n\lambda }$$ どこ

• ${\displaystyle n}$は各最大値の順序を表す整数である。
• ${\displaystyle \lambda}$波長は
• ${\displaystyle a}$スリット間の距離であり、
• ${\displaystyle \theta}$建設的干渉が発生する角度です。

対応する最小値は、経路差に波長の半分を加えた整数のところにあります。 $${\displaystyle a\sin \theta =\lambda (n+1/2)\,.}$$

スリットの配列では、最小値と最大値の位置は変わりませんが、画像に見られるように、画面上に表示される 縞模様はより鮮明になります。

この強度パターンを計算するには、より洗練された方法を導入する必要があります。放射状波の数学的表現は、 で与えられます。 ここで、は波長、は波の周波数、は時刻t = 0におけるスリットでの波の位相です。スリットの平面から少し離れたスクリーンでの波は、各スリットから発せられる波の合計で与えられます。この問題を少し簡単にするために、複素波 を導入します。その実部は に等しくなります。 この関数の絶対値は波の振幅を与え、関数の複素位相は波の位相に対応します。は複素振幅と呼ばれます。スリットがある場合、スクリーン上の 点における全波は$${\displaystyle E(r)=A\cos(kr-\omega t+\phi )/r}$$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \Psi (r)=Ae^{i(kr-\omega t+\phi )}/r}$$ $${\displaystyle E(r)=\operatorname {Re} (\Psi (r))}$$${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \x}$$${\displaystyle \Psi _{\text{total}}=Ae^{i(-\omega t+\phi )}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {e^{ik{ \sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}}}{\sqrt {\left(x-na\right)^{2}+L^{2}}}}.}$$

現時点では振幅と相対位相のみに関心があるので、またはに依存しない全体的な位相係数は無視できます。 を近似します。フラウンホーファー限界では、指数の順序の項と、分母に またはを含む項を無視できます。合計は次のようになります。${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}\approx L+(x-na)^{2}/2L}$${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2L}}}$${\displaystyle a/L}$${\displaystyle x/L}$$${\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}}$$

この和は幾何和の形をしており、次のように評価できる。 $${\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}-(N-1)ax}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}}$$

強度は複素振幅の絶対値の二乗で与えられ 、 はの複素共役を表します。 $${\displaystyle I(x)=\Psi \Psi ^{*}=|\Psi |^{2}=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}\right)^{2}}$$${\displaystyle \Psi ^{*}}$${\displaystyle \Psi }$

一例として、単一スリット回折の場合、角度の関数として回折パターンの強度を表す正確な方程式を導出できるようになりました。

ホイヘンスの原理の数学的表現は方程式を開始するために使用できます。

幅aのスリットに入射する波長λの単色複素平面波を考えます。 ${\displaystyle \Psi ^{\prime }}$

スリットが x′-y′ 平面にあり、その中心が原点にある場合、回折によってスリットから r 方向に放射状に移動する複素波 ψ が生成されると想定でき、これは次のように表されます。 $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

( x ′, y ′, 0)を、積分されるスリット内の点とします。( x , 0, z ) が回折パターンの強度が計算される位置である場合、スリットはからまで、およびからまで広がります。 ${\displaystyle x'=-a/2}$${\displaystyle +a/2\,}$${\displaystyle y'=-\infty }$${\displaystyle \infty }$

スロットからの 距離rは、次のとおりです。$${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}}}$$ $${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

フラウンホーファー回折を仮定すると、結論 になります。言い換えると、ターゲットまでの距離は、ターゲット上の回折幅よりもはるかに大きいということです。二項展開規則により、2 次以上の項を無視すると、右側の量は次のように推定できます。 ${\displaystyle z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}}$

$${\displaystyle r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}}$$

式の前の 1/ r は非振動的であることがわかります。つまり、強度の大きさに対するその寄与は、指数因子に比べて小さいということです。したがって、これを 1/ zとして近似しても、精度はほとんど損なわれません。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}}$$

わかりやすくするために、プレースホルダーC を使用して方程式内の定数を示します。Cには虚数が含まれる場合があり、波動関数は複素数になることに注意してください。ただし、最後にψが括弧で囲まれるため、虚数成分は除去されます。

さて、フラウンホーファー回折では、は小さいので、（がこの指数関数に参加し、積分されていることに注意してください）。 ${\displaystyle kx^{\prime 2}/z}$${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1}$${\displaystyle x^{\prime }}$

対照的に、括弧で囲むと 1 になるので、この項は方程式から削除できます。 ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}}$$${\displaystyle \left\langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}|e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}$$

（同じ理由で、 という用語も削除しました） ${\displaystyle e^{-ikz}}$

結果の取得: ${\displaystyle C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}}$$${\displaystyle \Psi =C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }=C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}}$$

オイラーの公式とその導関数 から、

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

そして幾何学から

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {x}{z}}}$。

したがって、我々は

$${\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]}$$ ここで、（正規化されていない）sinc関数は によって定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin(x)}{x}}}$

ここで、 を に代入すると、角度θにおける回折波の強度（振幅の二乗）は次のように表されます。 ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}$$

再びホイヘンスの原理の数学的表現から始めましょう。 $${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

等サイズ、等間隔のスリットが軸に沿って主平面に広がっているとします。上記のように、スリット 1 からの 距離は次のようになります。${\displaystyle N}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$

これをスリットに一般化すると、とが一定であるのに対し、が ${\displaystyle N}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{\prime }}$$${\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd}$$

したがって 、波動関数への すべての寄与の合計は次のようになります。$${\displaystyle r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$$

再び が小さいことに注意すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}}$${\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{aligned}}}$$

さて、次のアイデンティティを使うことができます $${\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.}$$

これを方程式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}}$$

前回と同様に置換を行い、振動しない定数を1スリット回折と同様に変数で表し、結果を括弧で囲みます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle I_{0}}$$${\displaystyle \left\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\right\rangle =e^{0}=1}$$

これにより、末尾の指数を破棄することができ、答えは次のようになります。 $${\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}$$

rが本質的に一定である遠方場では、次の式は 障壁の隙間にフーリエ変換を 行うことと同等である。 ^[1]$${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }$$

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