異方性拡散

画像処理およびコンピュータビジョンにおいて、異方性拡散（ペローナ・マリク拡散とも呼ばれる）は、画像の解釈に重要なエッジ、線、その他の詳細といった画像コンテンツの重要な部分を除去することなく、画像ノイズを低減することを目的とした技術である。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}異方性拡散は、画像が拡散プロセスに基づいて、次第にぼやけていくパラメータ化された画像群を生成するスケール空間を作成するプロセスに似ている。この群の各画像は、画像と 2 次元等方性ガウスフィルタとの畳み込みとして与えられ、フィルタの幅はパラメータとともに増加する。この拡散プロセスは、元の画像の線形かつ空間不変な変換である。異方性拡散はこの拡散プロセスの一般化であり、パラメータ化された画像群を生成するが、各画像は元の画像と、元の画像の局所的なコンテンツに依存するフィルタとの組み合わせである。結果として、異方性拡散は、元の画像に対する非線形かつ空間的に変化する変換となる。

1987 年にPeronaとMalikによって提示された元の定式化^{[ 1 ]}では、空間可変フィルタは実際には等方性ですが、画像の内容に依存し、結果として得られるスケール空間のさまざまなレベルで画像に保持されるべきエッジやその他の構造の近くでインパルス関数を近似します。局所適応フィルタは等方性であるにもかかわらず、この定式化は Perona と Malik によって異方性拡散と呼ばれましたが、他の著者によって不均一非線形拡散^{[ 4 ]}またはPerona–Malik 拡散^{[ 5 ]}とも呼ばれています。より一般的な定式化では、局所適応フィルタがエッジや線などの線形構造の近くで真に異方性になります。構造によって方向が与えられ、構造に沿って伸び、横方向に狭くなります。このような方法は、形状適応平滑化^{[ 6 ] [ 7 ]}またはコヒーレンス強調拡散と呼ばれます。^{[ 8 ]}その結果、得られる画像は線形構造を保持しつつ、同時にこれらの構造に沿って平滑化が行われます。これらの2つのケースは、通常の拡散方程式の一般化によって記述できます。拡散係数は定数スカラーではなく、画像の位置の関数であり、行列（またはテンソル）値をとります（構造テンソルを参照）。

結果として得られる画像群は、元の画像と空間可変フィルタの組み合わせとして説明できますが、局所的に適応したフィルタと画像との組み合わせは、実際には実現する必要はありません。異方性拡散は通常、一般化拡散方程式の近似によって実装されます。つまり、画像群内の各新しい画像は、この方程式を前の画像に適用することによって計算されます。したがって、異方性拡散は反復プロセスであり、比較的単純な一連の計算を使用して画像群内の各連続画像を計算し、十分な平滑化が得られるまでこのプロセスを継続します。

正式には、$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$平面のサブセットを表し、${\displaystyle I(\cdot ,t):\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$グレースケール画像の集合体である。${\displaystyle I(\cdot ,0)}$は入力画像である。すると、異方性拡散は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(x,y,t)\nabla I\right)=\nabla c\cdot \nabla I+c(x,y,t)\,\Delta I}$

どこ${\displaystyle \Delta }$ラプラシアンを表す。${\displaystyle \nabla }$勾配を表す。${\displaystyle \operatorname {div} (\cdots )}$は発散演算子であり、${\displaystyle c(x,y,t)}$は拡散係数です。

のために${\displaystyle t>0}$出力画像は次のように利用できます${\displaystyle I(\cdot ,t)}$より大きな${\displaystyle t}$よりぼやけた画像を生成する。

${\displaystyle c(x,y,t)}$拡散速度を制御するもので、通常は画像のエッジを保持するために画像勾配の関数として選択されます。 ピエトロ・ペローナとジテンドラ・マリクは1990年に異方性拡散の概念を提唱し、拡散係数として2つの関数を提案しました。

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)=e^{-\left(\|\nabla I\|/K\right)^{2}}}$

そして

${\displaystyle c\left(\|\nabla I\|\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {\|\nabla I\|}{K}}\right)^{2}}}}$

定数Kはエッジに対する感度を制御するもので、通常は実験的に、または画像中のノイズの関数として選択される。

させて${\displaystyle M}$を滑らかな画像の多様体とすると、上述の拡散方程式は、エネルギー汎関数の最小化のための勾配降下方程式として解釈できる。${\displaystyle E:M\rightarrow \mathbb {R} }$定義される

${\displaystyle E[I]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\,dx}$

どこ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$は拡散係数と密接に関係する実数値関数である。すると、任意のコンパクト台を持つ無限回微分可能なテスト関数に対して${\displaystyle h}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}E[I+th]&={\frac {d}{dt}}{\big |}_{t=0}{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }g\left(\|\nabla (I+th)(x)\|^{2}\right)\,dx\\[5pt]&=\int _{\Omega }g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I\cdot \nabla h\,dx\\[5pt]&=-\int _{\Omega }\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)h\,dx\end{aligned}}}$

最後の行は、部分積分による多次元積分から導かれる。$\displaystyle \nabla E_{I}}$E の勾配を表す${\displaystyle L^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$内積を点 I で評価すると、次のようになります。

${\displaystyle \nabla E_{I}=-\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

したがって、関数E上の勾配降下方程式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=-\nabla E_{I}=\operatorname {div} (g'\left(\|\nabla I(x)\|^{2}\right)\nabla I)}$

したがって、${\displaystyle c=g'}$異方性拡散方程式が得られる。

拡散係数、${\displaystyle c(x,y,t)}$PeronaとMalikが提唱したように、不安定性につながる可能性があるのは、${\displaystyle \|\nabla I\|^{2}>K^{2}}$この条件は、物理的拡散係数（ペローナとマリクによって定義された数学的拡散係数とは異なる）が負になることと同等であることが証明されており、画像の強度のコントラストを平滑化するのではなく強調する逆拡散を引き起こします。この問題を回避するには正則化が必要であり、空間的正則化によって収束した一定の定常状態解が得られることが示されています。^{[ 9 ]}

この目的のために、修正ペローナ・マリクモデル^{[ 10 ]} （PM方程式の正則化としても知られる）の1つについて考察する。このアプローチでは、未知数を非線形項内のガウス関数と畳み込むことで、修正ペローナ・マリク方程式を得る。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}=\operatorname {div} \left(c(|\nabla (G_{\sigma }*I)|^{2})\nabla I\right)}$

どこ ${\displaystyle G_{\sigma }=C\sigma ^{-1/2}\exp \left(-|x|^{2}/4\sigma \right)}$。

この正則化によって方程式の適切性は達成できるが、同時にぼやけ効果も生じる。これが正則化の主な欠点である。正則化パラメータの選択はノイズレベルに依存するため、ノイズレベルに関する事前知識が必要となる。

異方性拡散は、エッジをぼかすことなくデジタル画像からノイズを除去するために使用できます。拡散係数が一定の場合、異方性拡散方程式は熱方程式に帰着し、これはガウスぼかしに相当します。これはノイズ除去には理想的ですが、エッジも無差別にぼかしてしまいます。拡散係数をペローナ・マリクのようにエッジ回避関数として選択すると、結果として得られる方程式は、画像強度が滑らかな領域内で拡散（つまり平滑化）を促進し、強いエッジを横切る拡散を抑制します。したがって、画像からノイズを除去しながらエッジを保持することができます。

ノイズ除去と同様に、異方性拡散はエッジ検出アルゴリズムにも利用できます。エッジ探索拡散係数を用いて一定回数の反復処理を行うことで、画像は区分的に一定の画像へと変化し、その定数成分間の境界がエッジとして検出されます。

• 双方向フィルタ
• エッジ検出
• エッジ保存平滑化
• 熱方程式
• 画像ノイズ
• 騒音低減
• スケール空間
• 全変動ノイズ除去
• 限定変動

• Mathematica PeronaMalikFilter関数。
• IDL非線形異方性拡散パッケージ（エッジ強調およびコヒーレンス強調）：