リボンカテゴリ

以下のカテゴリーを検討してください${\displaystyle \mathbf {FdVect} (\mathbb {C} )}$有限次元ベクトル空間の${\displaystyle \mathbb {C} }$仮に${\displaystyle C}$は、基底ベクトルによって張られるベクトル空間である。${\displaystyle {\hat {e_{1}}},{\hat {e_{2}}},\cdots ,{\hat {e_{n}}}}$割り当てます${\displaystyle C}$双対オブジェクト${\displaystyle C^{\dagger }}$基底ベクトルによって張られる${\displaystyle {\hat {e}}^{1},{\hat {e}}^{2},\cdots ,{\hat {e}}^{n}}$では、定義してみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdot$ :\ C^{\dagger }\otimes C&\to 1\\{\hat {e}}^{i}\cdot {\hat {e_{j}}}&\mapsto {\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}\end{aligned}}}

そしてその双

${\displaystyle {\begin{aligned}kI_{n}:1&\to C\otimes C^{\dagger }\\k&\mapsto k\sum _{i=1}^{n}{\hat {e_{i}}}\otimes {\hat {e}}^{i}\\&={\begin{pmatrix}k&0&\cdots &0\\0&k&&\vdots \\&&\ddots &\\0&\cdots &&k\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

（これは主に特定の${\displaystyle {\hat {e_{i}}}}$二重${\displaystyle {\hat {e}}^{i}}$)

すると、例えば次のようなことが分かります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}^{i}&\cong {\hat {e}}^{i}\otimes 1\\&{\underset {I_{n}}{\to }}{\hat {e}}^{i}\otimes \sum _{j=1}^{n}{\hat {e_{j}}}\otimes {\hat {e}}^{j}\\&\cong \sum _{j=1}^{n}\left({\hat {e}}^{i}\otimes {\hat {e_{j}}}\right)\otimes {\hat {e}}^{j}\\&{\underset {\cdot }{\to }}\sum _{j=1}^{n}{\begin{cases}1\otimes {\hat {e}}^{j}&i=j\\0\otimes {\hat {e}}^{j}&i\neq j\end{cases}}\\&=1\otimes {\hat {e}}^{i}\cong {\hat {e}}^{i}\end{aligned}}}$

同様に${\displaystyle {\hat {e_{i}}}}$この証明は任意の有限次元ベクトル空間に適用できるため、 上の構造が であることを示しました。${\displaystyle \mathbf {FdVect} }$（左）剛体モノイド圏を定義する。

次に、編み込みとねじりを互換性のある方法で定義する必要があります。この場合、実数上では、一方が他方を与えられたときにほぼ決定されます。たとえば、自明な編み込みを考えると、

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto (b,a)\end{aligned}}}$

それから${\displaystyle c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}}$だから、私たちのひねりは従わなければならない$\displaystyle \theta _{C_{1}\otimes C_{2}}=\theta _{C_{1}}\otimes \theta _{C_{2}}}$つまり、テンソル積全体にわたって要素ごとに演算を行う必要があります。しかし、どんなオブジェクトでも${\displaystyle C\in \mathbf {FdVect} }$次のように書くことができます${\displaystyle C=\bigotimes _{i=1}^{n}1}$一部の人にとって${\displaystyle n}$、${\displaystyle \theta _{C}=\bigotimes _{i=1}^{n}\theta _{1}=\bigotimes _{i=1}^{n}\mathrm {id} =\mathrm {id} _{C}}$だから、我々のひねりも些細なものでなければならない。

一方、同型性を破ることなく、上記の編み込み規則に任意の非ゼロ乗法因子を導入することができます（少なくとも${\displaystyle \mathbb {C} }$) 例えば、編み込みを考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto i(b,a)\end{aligned}}}$

それから${\displaystyle c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=-\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}}$。 以来${\displaystyle \theta _{1}=\mathrm {id} }$、 それから${\displaystyle \theta _{1\otimes 1}=-\mathrm {id} _{1\otimes 1}}$帰納法によって、もし${\displaystyle C}$は${\displaystyle n}$次元の場合、${\displaystyle \theta _{C}=(-1)^{n+1}\mathrm {id} _{C}}$。

• 可換環上の射影加群の圏。この圏では、モノイド構造はテンソル積であり、双対対象は（線形）代数の意味での双対であり、これもまた射影的である。この場合のツイストは恒等写像である。
• リボンカテゴリのより洗練された例としては、量子群の有限次元表現が挙げられる。^{[ 1 ]}

リボンカテゴリという名称は、射のグラフィカルな表現に由来する。^{[ 2 ]}