ブラヴェ格子

幾何学と結晶学において、ブラヴェ格子はオーギュスト・ブラヴェ （1850）にちなんで名付けられた^[1] 、 3次元空間で記述された 一連の離散的な並進操作によって生成される離散点の無限配列である。

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3} 、}$

ここで、n _iは任意の整数、a _{i は}原始並進ベクトル、または原始ベクトルで、異なる方向（必ずしも互いに垂直ではない）にあり、格子を張ります。与えられたブラヴェ格子の原始ベクトルの選択は一意ではありません。ブラヴェ格子の基本的な側面は、どの方向を選択しても、その方向を見ると、離散格子点のそれぞれから見て格子がまったく同じに見えることです。

ブラヴェ格子の概念は、結晶の配置とその（有限の）境界を正式に定義するために使用されます。結晶は、各格子点にある基底またはモチーフと呼ばれる 1 つ以上の原子で構成されます。基底は、原子、分子、または固体のポリマーストリングで構成され、格子は基底の位置を提供します。

2つのブラヴェ格子は、同型対称群を持つ場合、同等であるとみなされることが多い。この意味で、2次元空間には5つ​​のブラヴェ格子があり、3次元空間には14のブラヴェ格子がある。ブラヴェ格子の14の対称群は、230の空間群のうちの14である。空間群の分類の文脈では、ブラヴェ格子はブラヴェ類、ブラヴェ算術類、またはブラヴェ群とも呼ばれる。^[2]

結晶学では、隣接する格子点間の空間とその空間内の原子を含む単位格子の概念があります。単位格子は、によって記述されるすべてのベクトルのサブセットを介して変換されたときに、重なりや空隙なしで格子空間を満たす空間として定義されます。（つまり、格子空間は単位格子の倍数です。）^[3]${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3} }$

ユニットセルには主に2種類あります。プリミティブユニットセルと従来のユニットセルです。プリミティブセルは格子（または結晶）の最小の構成要素であり、格子移動操作で積み重ねると、格子（または結晶）全体が再現されます。^[4]移動は、移動後も格子が変化しないように見える格子移動操作でなければならないことに注意してください。任意の移動が許可されている場合、たとえば、プリミティブセルを実際のセルの半分のサイズにして、2倍の頻度で移動することができます。

格子変換操作を呼び出さずにプリミティブ セルのサイズを定義する別の方法は、プリミティブ セルは、格子 (または結晶) 全体を再現するために繰り返し使用できる、正確に 1 つの格子点を含む格子 (または結晶) の最小のコンポーネントであると言うことです。どちらの定義でも、プリミティブ セルはサイズが小さいのが特徴です。

積み重ねたときに格子全体を再現できるセルの選択肢は明らかに多数あり (たとえば、2 つの格子の半分)、最小サイズ要件によってプリミティブ セルは他のすべての有効な繰り返し単位と区別されます。格子または結晶が 2 次元の場合、プリミティブ セルの面積は最小になります。同様に、3 次元の場合、プリミティブ セルの体積は最小になります。

この厳格な最小サイズ要件にもかかわらず、プリミティブ ユニット セルの唯一の選択肢はありません。実際、境界がプリミティブ トランスレーション ベクトルであるすべてのセルは、プリミティブ ユニット セルになります。特定の格子に対してプリミティブ トランスレーション ベクトルの唯一の選択肢がないという事実は、プリミティブ ユニット セルの多様性につながります。一方、従来のユニット セルは、必ずしも最小サイズのセルではありません。これらは単に便宜上選択され、説明の目的でよく使用されます。これらは緩く定義されています。

基本単位格子は、与えられた結晶の体積が最小の単位格子として定義されます。(結晶は格子と、格子点ごとに基底を持つものです。) 最小のセル体積を持つためには、基本単位格子には (1) 格子点が 1 つだけ含まれ、(2) 基底構成要素の数が最小限でなければなりません (たとえば、基底内の原子の数が最小限)。前者の要件については、単位格子内の格子点の数を数えると、格子点がその格子点の周りのm 個の隣接する単位格子によって共有されている場合、その点は 1/ mとして数えられます。後者の要件が必要なのは、格子と基底の複数の組み合わせで記述できる結晶があるためです。たとえば、すべての格子点に 1 種類の原子が配置されている格子 (最も単純な基底形式) として見られる結晶は、2 つの原子の基底を持つ格子として見られる場合もあります。この場合、原始単位格子とは、単位格子の体積を最小にするために結晶を記述する最初の方法で格子点を 1 つだけ持つ単位格子のことです。

特定の結晶に対してプリミティブセルを選択する方法は複数あり、それぞれの選択によってプリミティブセルの形状は異なりますが、プリミティブセルの体積はどの選択でも同じであり、各選択には、プリミティブ単位セルと関連する格子上の離散格子点との間に 1 対 1 の対応を確立できるという特性があります。特定の結晶に対して異なる形状を持つすべてのプリミティブ単位セルは、定義により同じ体積を持ちます。特定の結晶に対して、n が基本構成要素の最小量を保証する格子内の格子点の密度であり、v が選択されたプリミティブセルの体積である場合、nv = 1 となり、 v = 1/ nとなり、すべてのプリミティブセルは同じ体積 1/ nを持ちます。^[3]

与えられた結晶のすべての可能なプリミティブセルの中で、明らかなプリミティブセルは、選択されたプリミティブ並進ベクトルの集合によって形成される平行六面体である可能性がある。（繰り返しになるが、これらのベクトルは、最小量の基底構成要素を持つ格子を作らなければならない。）^[3]つまり、およびが選択されたプリミティブベクトルであるすべての点の集合である。このプリミティブセルは、与えられた結晶の明確な対称性を常に示すわけではない。この場合、結晶の対称性を容易に示す従来のユニットセルがよく使用される。従来のユニットセルの体積は、プリミティブユニットセルの体積の整数倍になる。 ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3} }$${\displaystyle 0\leq x_{i}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

2 次元では、任意の格子は、2 つの基本並進ベクトルの長さとそれらの間の角度によって指定できます。この方法で記述できる格子の数は無限にあります。異なるタイプの格子を分類する何らかの方法が求められています。その 1 つの方法は、一部の格子には固有の対称性があることを認識することです。基本並進ベクトルの長さとそれらの間の角度に条件を課すことで、さまざまな対称格子を作成できます。これらの対称性自体は、点群 (鏡映対称性、反転対称性、回転対称性を含む) や並進対称性など、さまざまなタイプに分類されます。したがって、格子は、どの点群または並進対称性が適用されるかに基づいて分類できます。

2 次元では、最も基本的な点群は、2π と π の下での回転不変性、または 1 回転対称性と 2 回転対称性に対応します。これは実際にはすべての 2D 格子に自動的に適用され、最も一般的な点群です。このグループに含まれる格子 (技術的にはすべての格子ですが、慣例的には他の点群のいずれにも属さないすべての格子) は斜格子と呼ばれます。そこから、残りの 4 つの格子カテゴリ (正方形、六角形、長方形、中心長方形) に対応する、変換要素 (または同等に、基本変換ベクトルの長さ/角度に対する 4 種類の制限) を持つ点群のさらに 4 つの組み合わせがあります。したがって、2 次元には全部で 5 つのブラベー格子があります。

同様に、3 次元では、14 のブラベー格子があります。1 つの一般的な「ゴミ箱」カテゴリ (三斜晶系) と 13 のその他のカテゴリです。これらの 14 の格子タイプは、点群によって 7 つの格子システム (三斜晶系、単斜晶系、斜方晶系、正方晶系、立方晶系、菱面体晶系、および六方晶系) に分類されます。

2次元空間には5つ​​のブラヴェ格子^[5]があり、以下の表に示すように4つの格子系にグループ化されています。各図の下には、そのブラヴェ格子のピアソン記号があります。

注:次の表の単位セル図では、格子点は黒丸で示され、単位セルは黒枠の平行四辺形 (正方形または長方形) で示されています。各平行四辺形の 4 つの角はそれぞれ格子点に接続されていますが、4 つの格子点のうち 1 つだけが技術的に特定の単位セルに属し、他の 3 つの格子点はそれぞれ隣接する単位セルのいずれかに属します。これは、格子点の黒丸をすべて固定したまま、単位セルの平行四辺形をわずかに左とわずかに下に動かすことを想像するとわかります。

単位格子は、格子辺の相対的な長さ ( aとb ) とそれらの間の角度 ( θ ) によって指定されます。単位格子の面積は、ノルム ‖ a × b ‖を評価することで計算できます。ここで、aとbは格子ベクトルです。格子システムの特性は次のとおりです。

3 次元空間には 14 個のブラヴェ格子があります。これらは、7 つの格子システムの 1 つとセンタリング タイプの 1 つを組み合わせることで得られます。センタリング タイプは、単位セル内の格子点の位置を次のように識別します。

• プリミティブ (P): セルの角のみに格子点がある (シンプルと呼ばれることもある)
• 底中心 (S: A、B、または C): セルのコーナーに格子点があり、セルの 1 組の平行面の各面の中心に 1 つの追加点がある (端中心と呼ばれることもある)
• 体心立方（I）：セルの角に格子点があり、セルの中心にもう1つの点がある
• 面中心 (F): セルの角に格子点があり、セルの各面の中心に 1 つの点が追加されます。

格子系と中心化タイプの組み合わせのすべては、すべての可能な格子を記述するのに必要なわけではありません。これらのいくつかは、実際には互いに同等であることが示せるからです。たとえば、単斜晶系 I 格子は、結晶軸の選択を変えることで単斜晶系 C 格子で記述できます。同様に、すべての A または B 中心格子は、C または P 中心化のいずれかで記述できます。これにより、組み合わせの数は、下の表に示すように 14 の従来のブラベー格子に減ります。^{[6] : 744}各図の下には、そのブラベー格子の ピアソン記号があります。

注:次の表の単位格子図では、セル境界 (コーナーと面) 上のすべての格子点が表示されていますが、これらの格子点のすべてが厳密には特定の単位格子に属しているわけではありません。これは、格子点を固定したまま、単位格子を各軸の負の方向にわずかに移動することを想像するとわかります。大まかに言えば、これは単位格子をわずかに左、わずかに下、わずかに画面外に移動すると考えることができます。これは、8 つのコーナー格子点 (具体的には、前面、左側、下部) のうち 1 つだけが特定の単位格子に属している (他の 7 つの格子点は隣接する単位格子に属している) ことを示しています。さらに、Base-centered列の上部と下部の面に示されている 2 つの格子点のうち、1 つだけが特定の単位格子に属しています。最後に、 Face-centered列の面にある 6 つの格子点のうち、3 つだけが特定の単位格子に属しています。

単位格子は、格子辺の相対的な長さ ( a、b、c ) とそれらの間の角度 ( α、β、γ )である 6 つの格子パラメータに従って指定されます。ここで、 αはbとc の間の角度、βはaとc の間の角度、γ はaとbの間の角度です。単位格子の体積は、三重積a · ( b × c )を評価することで計算できます。ここで、a、b、およびcは格子ベクトルです。格子システムの特性は次のとおりです。

3 次元の格子システムとブラベー格子に関する基本的な情報が、このページの冒頭の図にまとめられています。7 辺の多角形 (七角形) と中央の数字 7 は、7 つの格子システムを示しています。内側の七角形は、それぞれの格子システムの格子角、格子パラメータ、ブラベー格子、シェーンフライ表記法を示しています。

4次元には64個のブラヴェ格子がある。このうち23個は原始格子で、41個は中心格子である。10個のブラヴェ格子は鏡像対に分割される。^[7]

• ブラベ、A. (1850)。 「Mémoire sur les systèmes formés par les point distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace」[平面または空間上に規則的に分布した点によって形成されるシステムに関する回想録]。J. エコール ポリテック（フランス語で）。19：1-128。(英語: Memoir 1、Crystallographic Society of America、1949年)。

• 格子カタログ（Nebe と Sloane 著）
• スミス、ウォルター・フォックス（2002年）。「ブラヴェ格子の歌」