主系列表現

数学において、ある種の位相群Gの主級数表現は、 Gがコンパクト群でない場合に存在する。そこで、スペクトル理論との類推により、 Gの正規表現は、離散スペクトルだけでなく、連続パラメータを含む表現の、ある種の連続スペクトルに従って分解されると予想される。主級数表現は、スペクトルの連続部分を埋めるために、均一な方法で構築された いくつかの誘導表現である。

より詳しく言うと、ユニタリ双対は、正規表現を分解するのに関連するすべての表現の空間です。離散的な系列は、ユニタリ双対の「原子」（プランシュレル測度> 0 を持つ点）で構成されます。研究された最も初期の例では、ユニタリ双対の残り（またはほとんど）は、より単純だがコンパクトではないGのサブグループHから始めて、書きやすく、パラメータを含むという意味でアクセス可能なHの表現を使用して誘導表現を構築することでパラメータ化できました。（このような誘導プロセスでは、ユニタリではない表現が生成される場合があります。）

半単純リー群 Gの場合、部分群Hは岩沢分解から構築される。

G =カン

Kは最大コンパクト部分群である。するとHはAN (非コンパクト可解リー群)を含むように選ばれ、次のようにとられる。

H :=男

ここで、MはAのKの中心化子です。H の表現 ρ は既約かつユニタリであり、部分群N上の自明な表現であると考えられます。( M が自明な群である場合、そのような ρ は特殊線型群内の対角行列の群の表現の類似物です。)そのような ρ の誘導表現が主系列を構成します。球面主系列は、Aの指標をMANのAへ の準同型を使用して拡張することによって得られるMANの 1 次元表現から誘導される表現で構成されます。

ユニタリ双対に関連する他の連続表現シリーズが存在する可能性があります。その名前が示すように、主シリーズは「主な」貢献です。

このタイプの構成は、リー群ではない群G (たとえば、リー型 の有限群、 p 進体上の群) にも適用できることがわかっています。

例えば、 SL ₂ (R)の表現論を参照。局所体上の一般線型群GL ₂の場合、主級数表現のジャケ加群の次元は2である。 ^[1]

• AI Shtern (2001) [1994]、「連続表現のシリーズ」、数学百科事典、EMS Press
• ユニタリ双対の計算 (PDF)