コンドルセの陪審定理

コンドルセの陪審定理は、特定の集団が正しい決定を下す確率に関する統計定理です。この定理は、コンドルセ侯爵が1785年に著した『多数決の確率への分析の応用に関するエッセイ』の中で初めて提唱されました。^{[ 1 ]}

この定理の前提は、あるグループが多数決によって意思決定を行いたいと考えているという点です。投票結果のうち、どちらか一方が正解であり、各投票者はそれぞれ独立した確率pで正解に投票します。この定理は、グループに何人の投票者を含めるべきかを問うています。結果は、pが 1/2 より大きいか小さいかによって決まります。

• pが1/2より大きい場合（各投票者が正しく投票する確率が高い場合）、投票者数を増やすことで、多数決が正しい確率が高まります。極限においては、投票者数が増えるにつれて、多数決が正しく投票する確率は1に近づきます。
• 一方、pが1/2未満（各投票者が誤って投票する可能性が高い）の場合、投票者を増やすと状況は悪化する。最適な陪審員は投票者1名で構成される。

コンドルセ以降、多くの研究者がコンドルセの仮定の一部または全部を緩和した、さまざまな陪審員定理を証明してきた。

漸近解析は「近似計算」です。これは、厳密には解けない難問を解いたり、テイラーの公式やスターリングの公式といった初期の結果から素数定理に至るまで、複雑な結果をより単純な形で提供するために用いられます。漸近解析の研究において重要なトピックの一つが漸近分布です。漸近分布とは、ある意味で一連の分布の「極限」分布である確率分布です。個々の確率pが 1/2 に近い場合、正しい多数決の確率P ( n , p )はp − 1/2に関して線形に増加します。n人の投票者がそれぞれ正しく決定する確率をpとし、 nが奇数の場合（同数になる可能性がない場合）は次のようになります。

$${\displaystyle P(n,p)=1/2+c_{1}(p-1/2)+c_{3}(p-1/2)^{3}+O\left((p-1/2)^{5}\right),}$$

どこ

$${\displaystyle c_{1}={n \choose {\lfloor n/2\rfloor }}{\frac {\lfloor n/2\rfloor +1}{4^{\lfloor n/2\rfloor }}}={\sqrt {\frac {2n+1}{\pi }}}\left(1+{\frac {1}{16n^{2}}}+O(n^{-3})\right),}$$

そして、 nに関する漸近近似は非常に正確です。展開は奇数乗のみで、${\displaystyle c_{3}<0}$簡単に言うと、これは、決定が難しい場合（p が1/2 に近い場合）、 n 人の投票者を持つことによる利益が比例して増加することを意味します。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$[ ^{2 ]​}

コンドルセ陪審定理は、複数の医師（放射線科医、内視鏡医など）が疾患活動性について画像を独立して評価する際のスコア統合の概念化に最近用いられている。このタスクは臨床試験中に実施される中央読影で発生し、投票に類似している。著者らによれば、この定理の適用により、個々の読影者のスコアを、数学的に妥当な（順序データの平均化を避けることによって）、さらなる分析のために数学的に扱いやすい、かつ、対象となるスコアリングタスク（特徴の有無に関する決定に基づく主観的な分類タスク）と整合性のある方法で最終スコアに変換することができる。^{[ 3 ]}

コンドルセ陪審定理は、機械学習の分野におけるアンサンブル学習でも使用されています。^{[ 4 ]}アンサンブル法は、多数の個々の分類器の予測を多数決で組み合わせます。個々の分類器の予測精度が50%をわずかに上回り、かつ予測が独立していると仮定すると、それらの予測のアンサンブルは、個々の予測スコアよりもはるかに大きくなります。

多くの政治理論家や哲学者は、民主主義を擁護するためにコンドルセの陪審定理（CJT）を使用している ^{[ 5 ]。}しかし、CJTが現実世界で成り立つかどうかは経験的な問題である。CJTは両刃の剣であり、多数決が（ほぼ）完璧な情報集約メカニズムであることを証明できる一方で、${\displaystyle p>1/2}$あるいは（ほぼ）完璧な災害、${\displaystyle p<1/2}$災害とは、間違った選択肢が体系的に選ばれることを意味する。一部の著者は、我々は後者のシナリオにあると主張している。例えば、ブライアン・カプランは、有権者の知識は体系的に（おそらく）間違った選択肢に偏っていると詳細に主張している。CJTの設定では、これは、 ${\displaystyle p<1/2}$。

2022年には、CJTの適用可能性を研究するための別のアプローチが取られた。^{[ 6 ]}均質なケースを考慮する代わりに、各投票者は確率を持つことが許される。${\displaystyle p_{i}\in [0,1]}$おそらく他の有権者とは異なる。このケースは以前、Daniel BerendとJacob Paroushによって研究されており^{[ 7 ]}、コンドルセの古典的な定理（${\displaystyle p_{i}=p~~\forall ~i\in \mathbb {N} }$）やその他の結果、例えば集約の奇跡（${\displaystyle p_{i}=1/2}$ほとんどの有権者にとって、${\displaystyle p_{i}=1}$（そのうちのごく一部について）。次に、ベイズアプローチに従って、定理によって予測される命題の事前確率（この場合は、事前確率）が推定されます。つまり、任意の投票者シーケンス（つまり、シーケンス）を選択した場合${\displaystyle (p_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$) の場合、定理は成り立つでしょうか? 答えはいいえです。より正確には、ランダムなシーケンスが${\displaystyle p_{i}}$能力を優遇しない偏りのない分布に従って取得され、${\displaystyle p_{i}>1/2}$、または無能、${\displaystyle p_{i}<1/2}$ならば、定理によって予測される命題はほぼ確実に成り立たないだろう。この新しいアプローチでは、CJTの支持者は、低い事前確率を克服するために、能力の強力な証拠を提示する必要がある。つまり、能力に反する証拠がある（事後確率）だけでなく、証拠が全くない状況ではCJTが成り立つとは期待できない（事前確率）ということである。

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