共通不動点問題

数学における一般的な不動点問題とは、単位区間をそれ自身に写像し、関数合成に関して可換な任意の2つの連続関数に対して、両方の関数の不動点となる点が存在するという予想である。言い換えれば、関数が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$連続しており、${\displaystyle f(g(x))=g(f(x))}$すべての人々のために${\displaystyle x}$単位区間では、何らかの${\displaystyle x}$単位区間において${\displaystyle f(x)=x=g(x)}$。

1954年に初めて提起されたこの問題は、10年以上未解決のままであり、その間、数人の数学者が肯定的な答えに向けて少しずつ進歩を遂げた。1967年、ウィリアム・M・ボイスとジョン・P・フネケは独立に^{[ 1 ] : 3、}共通の不動点を持たない閉区間上の可換関数の例を示すことで、この予想が誤りであることを証明した。

1951 年に HD Block と HP Thielman が発表した論文は、可換関数の不動点というテーマへの関心を呼び起こした。^{[ 2 ]} JF RittとAG Walkerによる以前の研究に基づいて、Block と Thielman は、互いに可換な多項式の集合を特定し、その性質を研究した。彼らは、これらの集合のそれぞれについて、任意の 2 つの多項式が共通の不動点を持つことを証明した。^{[ 3 ]}

ブロックとティールマンの論文は、他の数学者たちに、共通の不動点を持つことが可換関数の普遍的な性質であるかどうか疑問を抱かせた。1954年、エルドン・ダイアーは、もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$実数直線上の閉区間をそれ自身に写像し、可換な 2 つの連続関数である場合、それらは共通の不動点を持たなければなりません。同じ疑問は、 1955 年にAllen Shieldsによって独立に提起され、 1956 年にLester Dubinsによって再び提起されました。 ^{[ 4 ]} John R. Isbellも 1957 年に、より一般的な形でこの問題を提起しました。^{[ 5 ]}

1960年代、数学者たちは、ある仮定を置いた場合に可換関数予想が成り立つことを証明することができた。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$[ ^{2 ] [ 1 ]​}

1963年、ラルフ・デマールは、もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$両方ともリプシッツ連続であり、両方のリプシッツ定数が${\displaystyle \geq 1}$、 それから${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$共通の不動点を持つことになる。^{[ 6 ]}ジェラルド・ユングクはデマールの条件を改良し、リプシッツ連続である必要はなく、類似しているが制約の少ない基準を満たせばよいことを示した。^{[ 7 ]}

ハスケル・コーエンは1964年に別のアプローチで、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$両方が連続かつ「完全」であれば、共通の不動点を持つ。ここで、単位区間をそれ自身に写像する連続関数は、その定義域を有限個のセグメントに分割でき、各セグメントについてそのセグメントに制限された関数が単位区間への同相写像となる場合に完全と呼ばれる。 ^{[ 8 ]}後に、ジョン・H・フォークマンとジェームズ・T・ジョイチはそれぞれ独立してコーエンの研究を拡張し、2つの関数のうち1つだけが完全であればよいことを示した。^{[ 9 ] [ 10 ]}

1965年にジョン・マックスフィールドとWJ・モーラントは、単位区間上の可換関数は、一方の関数が周期2の点を持たない場合（つまり、${\displaystyle f(f(x))=x}$暗示する${\displaystyle f(x)=x}$) ^{[ 11 ]}翌年、シャーウッド・チューとRD・モイヤーは、一方の関数が固定点を持ち、もう一方の関数が周期2の点を持たない部分区間が存在する場合に、この予想が成り立つことを発見した。^{[ 12 ]}

ウィリアム・M・ボイスは1967年にチューレーン大学で博士号を取得した。^{[ 13 ]}ボイスは博士論文で、合成に関して可換であるが共通の不動点を持たない関数のペアを特定し、不動点予想が誤りであることを証明した。^{[ 14 ]}

1963年、グレン・バクスターとジョイチは合成関数の不動点に関する論文を発表した。${\displaystyle h(x)=f(g(x))=g(f(x))}$関数は${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$固定点を並べ替える${\displaystyle h}$バクスターとジョイチは、各固定点において、${\displaystyle h}$順列は、上向きに斜めに交差するか（「上向き交差」）、下向きに斜めに交差するか（「下向き交差」）、または斜めに交差せずに斜めに接触してから反対方向に離れるかのいずれかでなければならない。^{[ 15 ]}独立した論文で、バクスターは、順列は各固定点のタイプ（上向き交差、下向き交差、接触）を保持しなければならず、特定の順序のみが許容されることを証明した。^{[ 5 ]}

ボイスは、バクスターの規則に従う順列を生成するコンピュータ プログラムを作成し、それを「バクスター順列」と名付けました。^{[ 2 ] [ 16 ] [ 17 ]}彼のプログラムは、自明に不動点を持つことが示せるものや、他のケースと解析的に同等なものを慎重に選別しました。このプロセスで可能な順列の 97% 以上を排除した後、ボイスは残りの候補から可換関数のペアを構築し、対角線上に 13 個の交点を持つバクスター順列に基づくそのようなペアの 1 つには共通の不動点がないことを証明できました。^{[ 18 ]}

ボイスの論文は、コンピュータ支援証明の初期の例の 1 つです。^{[ 1 ]} 1960 年代には、数学者が研究にコンピュータを利用することは一般的ではありませんでしたが、^{[ 1 ] [ 19 ]}当時陸軍に勤務していたボイスは、MIT リンカーン研究所のコンピュータを利用することができました。ボイスは、プログラムのFORTRANソース コードを含む、バクスター順列を生成するプロセスを記述した別の論文を発表しました。 ^{[ 18 ]}

ジョン・P・フネケもまた、ウェズリアン大学で博士号を取得する際に共通不動点問題について研究し、1967年に博士号を取得した。フネケは論文の中で、2つの異なる戦略を用いて、可換ではあるが共通不動点を持たない関数ペアの2つの例を示している。^{[ 20 ]}フネケの最初の例は、本質的にはボイスの例と同一であるが、フネケは異なるプロセスを経てこの例にたどり着いた。^{[ 21 ]}

フネケの解法は、山登り問題^{[ 22 ]}に基づいている。この問題は、高さが同じ別々の山を登る2人の登山者が、どの時点においても常に同じ標高にいるように登ることができるというものである。フネケはこの原理を用いて、共通不動点問題の反例に収束する関数の列を構築した^{[ 20 ] 。}

ボイスとフネケによる反例の発見は、10年にわたる可換関数予想の証明の追求が終わったことを意味したが、研究者たちは、すでに発見された条件に加えて、どのような条件下で予想が依然として成り立つ可能性があるのか​​を調査することに力を注ぐことができた。^{[ 2 ]}

ボイスは1971年にマックスフィールド/ムーラントとチュー/モイヤーの研究を拡張し、可換関数の両方が周期2の点を持つことを可能にするより弱い条件を示したが、それでもそれらが共通の不動点を持たなければならないことを示唆した。^{[ 23 ]}彼の研究は後にセオドア・ミッチェル、フリオ・カノ、ヤツェク・R・ヤヒムスキによって拡張された。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

最初の論文発表から25年以上経って、ユングクは、${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$周期点の概念と関数の一致集合に基づいて、共通の不動点を持つことになる。つまり、${\displaystyle f(x)=g(x)}$[ ^{27 ]​}

バクスター順列はそれ自体が研究対象となり、一般的な不動点問題以外の問題にも応用されている。^{[ 28 ]}