一様規範

数学解析では、一様ノルム（またはsup norm ) は、実数値または複素数値の有界関数にを割り当てます。 $f$ 集合上で定義される $S$ 非負の数

\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.

この規範は、最高規範、チェビシェフノルム、無限大ノルム、または上限が実際に最大値である場合、最大ノルム。「一様ノルム」という名前は、関数のシーケンスが $\left\{f_{n}\right\}$ ⁠収束する⁠ $f$ 一様ノルムから導出されたメトリックの下で、かつその場合に限る $f_{n}$ ⁠収束する⁠ $f$ 均一に。^{[ 1 ]}

もし $f$ は閉区間で連続関数、より一般的にはコンパクト集合で、有界であり、上記の定義における上限はワイエルシュトラスの極値定理によって得られるので、上限を最大値に置き換えることができます。この場合、ノルムはとも呼ばれます。最大ノルム。特に、もし⁠ $x$ ⁠は、次のようなベクトルです。 $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ 有限次元座標空間では、次の形式をとります。

\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).

これは $\ell ^{\infty }$ -規範。

意味

一般に、一様ノルムは、ノルム空間で値をとる有界関数に対して定義される。 $X$ セットにして $(Y,\|\|_{Y})$ ノルム空間である。集合上で $Y^{X}$ 関数から $X$ に $Y$ 拡張ノルムは次のように定義される。

\|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].

これは一般的に拡張ノルムです。関数 $f$ は有界でない可能性がある。この拡張ノルムを有界関数（つまり、上記の拡張ノルムが有限である関数）に制限すると、(有限値の)ノルムが得られ、これは一様ノルムと呼ばれる。 $Y^{X}$ なお、一様ノルムの定義は、集合上のいかなる追加構造にも依存しない。 $X$ 実際には $X$ 多くの場合、少なくとも位相空間である。

収束 $Y^{X}$ 一様拡張ノルムによって誘導されるトポロジーでは、シーケンスに対して一様収束が成り立ち、ネットやフィルタに対しても同様である。 $Y^{X}$ 。

この距離位相に関して、閉集合と集合の閉包を定義できます。一様ノルムにおける閉集合は一様閉集合と呼ばれることがあり、閉包は一様閉包と呼ばれます。関数の集合 A の一様閉包は、一様収束関数列によって近似できるすべての関数の空間です。 $A.$ 例えば、ストーン・ワイエルシュトラスの定理の言い換えの一つは、上のすべての連続関数の集合は $[a,b]$ は、上の多項式の集合の一様閉包である。 $[a,b].$

コンパクト空間上の複素連続関数の場合、これは C*代数に変換されます（ゲルファント表現を参照）。

均一収束のトポロジーを誘発する弱い構造

均一な計量

2つの有界関数間の均一な距離 $f,g\colon X\to Y$ セットから $X$ 距離空間へ $(Y,d_{Y})$ 定義される

d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))

均一なメトリックは、チェビシェフ計量は、パフヌティ・チェビシェフ。この場合、 $f$ 正確に有界であるのは $d(f,g)$ ある定数関数に対して有限である $g$ 非有界関数を許容する場合、この式は厳密な意味でのノルムや距離を与えるものではありませんが、得られたいわゆる拡張距離によって、問題の関数空間上に位相を定義することは可能です。収束は依然として一様収束です。特に、数列 $\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}$ 関数に一様に収束する $f$ かつその場合に限り $\lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,$

もし $(Y,\|\|_{Y})$ がノルム空間であれば、それは自然な意味で距離空間である。上の拡張距離 $Y^{X}$ 一様拡張ノルムによって誘導されるものは一様拡張計量と同じである

d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}

の上 $Y^{X}$

一様収束の一様性

させて $X$ セットにして $(Y,{\mathcal {E}}_{Y})$ 一様な空間である。数列 $(f_{n})$ 関数から $X$ に $Y$ 関数に一様に収束すると言われている $f$ 各随行員について $E\in {\mathcal {E}}_{Y}$ 自然数が存在する $n_{0}$ そのため、 $(f_{n}(x),f(x))$ に属する $E$ いつでも $x\in X$ そして $n\geq n_{0}$ ネットについても同様です。これは、トポロジーの収束です。 $Y^{X}$ 実際、セットは

\{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}

どこ $E$ 取り巻きを通り抜ける $Y$ 均一性の基本的なアントラージュシステムを形成する $Y^{X}$ 一様収束の一様性と呼ばれる $Y^{X}$ 一様収束は、まさにその一様位相の下での収束である。

もし $(Y,d_{Y})$ が距離空間である場合、デフォルトで距離均一性が備わります。 $Y^{X}$ 一様拡張メトリックに関して、一様収束の一様性は $Y^{X}$ 。

物件

無限大ノルムが与えられた定数であるベクトルの集合、 $c,$ 辺の長さがの超立方体の表面を形成する $2c.$

下付き文字の理由は「 $\infty$ 「それはいつでも $f$ 連続的で $\Vert f\Vert _{p}<\infty$ 一部の人にとって $p\in (0,\infty )$ 、それから $\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },$ どこ $\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}$ どこ $D$ は、 $f$ ; 積分は、以下の場合に和になります。 $D$ は離散集合である（pノルムを参照）。