チャールズ・ハロス

シャルル・アロスは、 18世紀末から19世紀初頭にかけてフランスの土地台帳局に勤務した 幾何学者（数学者）でした。

土地台帳局の主な任務の 1 つは、課税目的でフランスの正確な地図を作成することでしたが、時折、政府の他の部門に計算サービスを提供することもありました。

フランス革命によって導入された改革の 1 つは、フランスをメートル法に移行することであり、これには有理数の分数表現から小数表現への変更が必要でした。アロスは、プロニーの対数表の計算やフランスの天体暦であるConnaissance des Tempsの準備など、地籍局での多くの計算プロジェクトに関与していましたが、分数を小数に変換するために作成した小さな表で最もよく知られています。

ハロスの換算表は、 「命令 Abrégée sur les nouvelles Mesures qui dovient étre introduites dans toute république, au Vendemiaire an 10」という冊子に掲載されています。 avec tables de rapports etductions 、これはフランス研究所の数学部門に提出され、その後『Journal de l'École Polytechnique』に「Tables pour évaluer unefraction ordinaire avec autant de decimals qu'on voudra; et pour」というタイトルで要約されました。 trouver la fraction ordinaire la plus simple、et qui approche sensiblementドゥーヌ分数小数点。」

表を作成するにあたり、アロスは分母が 100 未満の既約分数 (普通分数) 3,003 個すべてのリストを作成する必要がありました。これらすべてを確実に取得するために、彼は150 年ほど前にニコラ・シュケが解明したアルゴリズムを利用しました。シュケはこれを「分数の法則」と呼びました。今日では、これを中分と呼んでいます。中分とは、分子が分子の合計 a+b で、分母が分母の合計 c+d である 2 つの分数 a/cとb / d の間の分数です。つまり、分数 a/c と b/d の中分は分数 (a+b)/(c+d) です。

ハロスは論文で、中数は常に既約であり、この目的にとってより重要なことは、分数の列から始めると、

1/99、1/98、1/97、...、1/4、1/3、1/2、2/3、3/4、5/6、...、96/97、97/ 98、98/99

そして、ルールを適用し続け、分母が 100 未満の場合にのみ結果を保持し、すべて 3,003 を生成します。

およそ 15 年後、イギリスでヘンリー グッドウィンが、ハロスの表のさらに野心的なバージョンの作成に着手しました。特にグッドウィンは、分母が 1,024 以下のすべての既約分数の小数値を表にまとめたいと考えました。そのような分数は 318,963 個あります。1816 年に、そのような表のウォームアップと商業市場のテストとして、彼は私家版として『The First Centenary of a Series of Concise and Useful Tables of all the Complete Decimal Quotients』を出版しました。これは、単位、または各約数未満の任意の整数を 1 から 1024 までのすべての整数で割ったときに生じる完全な小数商の表です。

ジョン・フェアリーはこの表の中位的性質を観察し、『The Philosophical Magazine and Journal』への手紙の中で次のように考察しました。

「この普通分数の奇妙な性質が以前に指摘されたことがあるかどうか、あるいはそれが何か簡単または一般的な証明を可能にするかどうかは、私にはわかりません。この点について、数学の読者の何人かの意見を聞けたらうれしいです。...」

オーギュスタン・コーシーはファレーの手紙を読み、論文「数に関する奇妙な定理の証明」を発表し、謝辞なしにハロスの結果を反駁した。コーシーは論文の中で、中分数を「MJ ファレーが観察した普通分数の注目すべき特性」と呼んだ。こうして、分母が特定の値未満のすべての普通分数の順序付けられた数列は、おそらくより正確にはシュケ数列やハロス数列ではなく、ファレー数列として知られるようになった。

• コーシー、オーギュスティン・ルイス。 「テオレム・キュリュー・シュル・レ・ノンブルのデモンストレーション」。Bulletin des Sciences、par la Société Philomatique de Paris、Vol. 3、No. 3 (1816)、133 ～ 135 ページ。
• ファリー、ジョン。「俗分数の奇妙な性質について」。哲学雑誌とジャーナル、第47巻、第3号（1816年）、385〜386ページ。
• グッドウィン、ヘンリー。単位または各約数より小さい任意の整数を 1 から 1024 までのすべての整数で割ったときに生じるすべての完全な小数商の簡潔で便利な表シリーズの第 1 百周年記念、私的配布、18 ページ、1816 年。
• ハロス、チャールズ。既成のマニエール・ド・ダレーム、シュール・レ・ヌーヴォー・ポイドとメジャー、平均的な使用法と使用法を計算します。パリ：フリミン・ディド、1806年。
• ハロス、チャールズ。 「テーブルは、分数の順序を計算し、10 進数を計算します。そして、簡単な分数を計算し、分数の分数を計算します。」エコール・ポリテクニックジャーナル、Vol. 6、No. 11 (1801)、364 ～ 368 ページ。
• ハロス、チャールズ。命令 Abrégée sur les nouvelles Mesures qui dovient étre introduites dans toute république, au Vendemiaire an 10; avec テーブルの関係と削減。パリ：フィルミン・ディド、1801年。

• アイヴァー・グラッタン・ギネスは、 18 世紀と 19 世紀のフランスにおける数学に関する数多くの本と論文を執筆しました。
• ガスパール・ド・プロニーは地籍局を設立し、対数表と三角表を計算するプロジェクトを主導した。

• グザリー、スコット。数学のモチーフ：中位数とファレイ数列の歴史と応用。ボストン：ドセント・プレス、2010年。ISBN  1-4538-1057-9

• マンスイ、ロジャー。ハロスの都市計算。ハロスの都市計算。小数計算の見習い。 http://www.dma.ens.fr/culturemath/
• Roegel, Denis. フランスの土地台帳の対数表と三角表: 予備調査。http://www.loria.fr/~roegel/locomat.html.