キャプスタン方程式

キャプスタン方程式^[1]またはベルト摩擦方程式は、オイラー・アイテルヴァイン式^[2]（レオンハルト・オイラーとヨハン・アルベルト・アイテルヴァインにちなんで）^{[3]としても知られ、柔軟なラインが円筒（}ボラード、ウインチ、またはキャプスタン）に巻き付けられている場合の保持力と荷重力を関連付けます。^{[4] [1]}

これは、ロープ駆動やバンドブレーキなどで発生する 1 回転の分数にも適用されます。

摩擦力と張力の相互作用により、キャプスタンに巻き付けられたラインの張力は、キャプスタンの両側で異なる場合があります。片側にかかる小さな保持力は、反対側にはるかに大きな荷重力をもたらす可能性があります。これが、キャプスタン型デバイスが動作する原理です。

保持キャプスタンは、一方向にしか回転できないラチェット装置です。荷物をその方向に引っ張ると、はるかに小さな力で保持できます。動力キャプスタンはウインチとも呼ばれ、回転することで、ロープとキャプスタン間の摩擦によって加えられた張力が増幅されます。大型帆船では、保持キャプスタンと動力キャプスタンが連動して使用されるため、小さな力で重い帆を上げ、動力キャプスタンからロープを簡単に取り外して結び付けることができます。

ロッククライミングでは、この効果により、トップロープ登攀時に軽い人が重い人をつかむ（ビレイする）ことが可能になり、またリードクライミング中にロープの引きずりも生じます。

式は

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}\ e^{\mu \varphi }~,}$

ここで、 はロープに加えられる張力、はキャプスタンの反対側に働く結果的な力、はロープとキャプスタン材料間の摩擦係数、 はロープの全回転によって生じる合計角度で、ラジアンで測定されます（つまり、1 回転すると角度）。 ${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle T_{\text{hold}}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi =2\pi \,}$

ベルト駆動やブレーキなどの動的アプリケーションの場合、関心のある量はと の間の力の差です。この式は次のようになります。 ${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle T_{\text{hold}}}$

${\displaystyle F=T_{\text{load}}-T_{\text{hold}}=(e^{\mu \varphi }-1)~T_{\text{hold}}=(1-e^{-\mu \varphi })~T_{\text{load}}}$

方程式が有効であるためには、いくつかの仮定が満たされていなければなりません。

1. ロープは完全に滑り出す寸前、つまり保持できる最大荷重に達しています。より小さな荷重も保持できるため、有効接触角は小さくなります。${\displaystyle T_{\text{load}}}$${\displaystyle \varphi}$
2. ラインが硬くないことが重要です。硬くなっていると、ラインがシリンダーの周囲にきつく曲がる際に大きな力が失われます。(この場合は方程式を変更する必要があります。) たとえば、ボーデン ケーブルはある程度硬く、キャプスタン方程式の原理に従いません。
3. ラインは伸縮性がありません。

摩擦係数、円筒の回転数、接触角に応じて力の増加が指数関数的に増加することが分かります。円筒の半径は力の増加に影響を与えないことに注意してください。

以下の表は、回転数と摩擦係数μに基づく係数の値を示しています。 ${\displaystyle e^{\mu \varphi }\,}$

表から、ウインチにシート（帆の緩い側へのロープ）が 3 回以上巻かれているのをめったに見かけない理由が明らかです。力の増加は極端になるだけでなく、逆効果になるだけでなく、ライディングターンのリスクがあり、シートが絡まって結び目ができ、（テール（自由端）のグリップを緩めて）緩めてもシートが切れなくなります。

アンカー キャプスタンとジブ ウインチは、ロープ (アンカー ワープまたはセイル シート) が滑り落ちるのを防ぐために、円筒形ではなく、ベースがわずかに広がった形状にするのが、古今両方の慣習です。ウインチに数回巻き付けられたロープは、手またはセルフ テーラーでテーリング (緩んだ端を引っ張ってきれいにする) すれば、ライディング ターンの危険性をほとんど感じることなく、徐々に上方に滑り落ちます。

たとえば、係数「153,552,935」（摩擦係数 0.6 のキャプスタンを 5 回回転）は、理論的には、生まれたばかりの赤ちゃんがUSS ニミッツ超大型空母 2 隻の重量（各 97,000 トン、赤ちゃんにとっては 1 kg 強）を支えられる（動かせない）ことを意味します。キャプスタンを回転する回数が多く、摩擦係数が高いため、このような重い重量を所定の位置に保持するのに必要な追加の力はほとんどありません。この重量を支えるために必要なケーブルと、ケーブルの圧縮力に耐えるキャプスタンの能力は、別の考慮事項です。

加えられる張力は、ロープがキャプスタンに張る全角度の関数です。滑りそうになると、これは摩擦力でもあり、定義により法線力の倍になります。単純な幾何学により、角度を少し増やすときに増加する法線力は、で近似できます。これらを組み合わせて、無限小を考慮すると、微分方程式が得られます。 ${\textstyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )}$${\textstyle \mu }$${\displaystyle R(\varphi )}$${\textstyle \delta R(\varphi )=R(\varphi +\delta \varphi )-R(\varphi )}$${\textstyle \delta \varphi }$${\textstyle \delta R(\varphi )\estimate T_{\mathrm {load} }(\varphi )\sin(\delta \varphi )\estimate T_{\mathrm {load} }(\varphi )\delta \varphi }$${\textstyle \delta \varphi }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\mathrm {load} }(\varphi )}{d\varphi }}=\mu T_{\mathrm {load} }(\varphi ),\qquad T_{\mathrm {load } }(0)=T_{\mathrm {ホールド} },}$

その解決策は

${\displaystyle T_{\mathrm {load} }(\varphi )=T_{\mathrm {hold} }e^{\mu \varphi }}$

V ベルトのベルト摩擦方程式は次のとおりです。

${\displaystyle T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}e^{\mu \varphi /\sin(\alpha /2)}}$

ここで、Vベルトが押し付けられるプーリの2つの平らな面の間の角度（ラジアン単位）です。^[5]平ベルトの有効角度は です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =\pi }$

VベルトやマルチVサーペンタインベルトの材質は、負荷が増加するとプーリの嵌合溝に食い込みやすく、トルク伝達が向上します。^[6]

同じ動力伝達の場合、Vベルトは平ベルトよりも張力が少なくて済むため、ベアリングの寿命が長くなります。^[5]

ロープが粗い直交異方性表面上で接線力を受けて平衡状態にある場合、次の 3 つの条件がすべて満たされます。

1. 分離なし –ロープ曲線のすべてのポイントで通常の反応は正です。 ${\displaystyle N}$

   ${\displaystyle N=-k_{n}T>0}$ここで、 はロープ曲線の法線曲率です。${\displaystyle k_{n}}$

2. 曲線のすべての点における 摩擦係数と角度が以下の基準を満たしている${\displaystyle \mu _{g}}$${\displaystyle \alpha }$

   ${\displaystyle -\mu _{g}<\tan \alpha <+\mu _{g}}$

3. 接線力の限界値:

   ロープの両端の力は次の不等式を満たしている。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$

   ${\displaystyle T_{0}e^{-\int _{s}\omega \,ds}\leq T\leq T_{0}e^{\int _{s}\omega \,ds}}$

   と${\displaystyle \omega =\mu _{\tau }{\sqrt {k_{n}^{2}-{\frac {k_{g}^{2}}{\mu _{g}^{2}}}}}=\mu _{\tau }k{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\mu _{g}^{2}}}}},}$

   ここで、はロープ曲線の測地線曲率、はロープ曲線の曲率、は接線方向の摩擦係数です。${\displaystyle k_{g}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu _{\tau }}$

   もしそうなら${\displaystyle \omega ={\text{constant}}}$${\displaystyle T_{0}e^{-\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}\leq T\leq T_{0}e^{\mu _{\tau }ks\,{\sqrt {\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha /\mu _{g}^{2}}}}.}$

この一般化はコニュホフによって達成された。^{[7] [8]}

• ベルト摩擦
• 摩擦接触力学
• トルクアンプ、キャプスタン効果を利用する装置

• Arne Kihlberg、Kompendium i Mekanik for E1, del II、ヨーテボリ 1980、60–62。

• キャプスタン方程式計算機