カビボ-小林-益川行列

1963年、ニコラ・カビボは弱い相互作用の普遍性を維持するためにカビボ角（θc _）を導入した。^{[ 1 ]}カビボは、マレー・ゲルマンとモーリス・レヴィによる、有効に回転した非ストレンジベクトルおよびストレンジベクトル、軸方向の弱い電流に関する以前の研究^{[ 2 ]} に触発され 、それを参照している。^{[ 3 ]}

現在の概念（クォークはまだ提唱されていなかった）に照らして、カビボ角はダウンクォーク_とストレンジクォークがアップクォークに崩壊する相対確率 （それぞれ | Vud | ²と| Vus | ^{2 ）に関連し}_ている。素粒子物理学の用語では、荷電カレント弱相互作用を介してアップクォークと結合する物体は、ダウン型クォークの重ね合わせであり、ここではd′で表される。^{[ 4 ]} 数学的には、これは次のようになる。   

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

またはカビボの視点から：

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

 現在受け入れられている| V _ud | および | V _us |の値 (下記参照) を使用すると、カビボ角は次のように計算できます。

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

1974年にチャームクォークが発見された際、ダウンクォークとストレンジクォークがアップクォークまたはチャームクォークに遷移する可能性があることが注目され、以下の2組の方程式が導き出された。

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

またはカビボの視点から：

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

これは行列表記では次のように表すこともできます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

またはカビボの角度を使う

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

ここで、様々な | V _ij | ^{2 は、フレーバー}jのクォークがフレーバーiのクォークに崩壊する確率を表します。この 2×2回転行列は「カビボ行列」と呼ばれ、後に 3×3 CKM 行列に拡張されました。 

1973年、小林と益川は、 CP対称性の破れが4クォークモデルでは説明できないことに気づき、3世代のクォークの弱い崩壊を追跡するために、カビボ行列をカビボ・小林・益川行列（またはCKM行列）に一般化した。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

左側にはダウン型クォークの弱い相互作用の二重項パートナーがあり、右側にはCKM行列とダウン型クォークの質量固有状態のベクトルがあります。CKM行列は、あるフレーバーjクォークから別のフレーバーiクォークへの遷移の確率を表します。これらの遷移は| V _ij | ²に比例します。

2023年時点で、 CKM行列要素の個々の大きさの最良の決定は次のとおりです。 ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

これらの値を用いることで、CKM行列のユニタリ性を確認できる。特に、行列の1行目の要素は次のようになる。${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007}$

実験結果を理論値1と一致させる。

定義においてダウン型クォークを使用するという選択は慣例であり、アップ型クォークとダウン型クォークの間に物理的に好ましい非対称性があることを示すものではありません。他の慣例も同様に有効です。アップ型クォークの質量固有状態u、c、t は、弱い相互作用のパートナーであるu′、c′、t′を用いて行列を等価に定義できます。CKM 行列はユニタリーであるため、その逆行列は共役転置行列と同じであり、代替案ではこの共役転置行列を使用します。つまり、わずかに形を変えた同じ行列として現れます。

N = 2の場合、パラメータは 1 つだけで、それは 2 世代のクォーク間の混合角です。歴史的には、これは 2 世代しか知られていなかった頃の CKM 行列の最初のバージョンでした。考案者のニコラ・カビボにちなんでカビボ角と呼ばれています。  

標準模型の場合（N = 3）には、3つの混合角と1つのCP対称性を破る複雑な位相が存在する。^{[ 7 ]}  

小林と益川による元のパラメータ化では、3 つの角度 ( θ ₁、θ ₂、θ ₃ ) と CP 違反位相角 ( δ ) が使用されました。^{[ 5 ]} θ ₁はカビボ角です。簡潔にするために、角度θ _{kのコサインとサインは、それぞれ}k = 1、2、3に対してc k_とs k_で表されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

CKM行列の「標準的な」Chau-Keung ^{[ 8 ]}パラメータ化では、3つのオイラー角（θ ₁₂、θ ₂₃、θ ₁₃）と1つのCP対称性の破れ位相（δ ₁₃）を使用します。^{[ 9 ]} θ _{12はカビボ角です。これは}粒子データグループが推奨する慣例です。クォーク世代jとk間の結合は、θ _jk = 0の場合に消滅します。角度のコサインとサインは、それぞれc _jkとs _jkで表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

2008年の標準パラメータの値は次のとおりです。^{[ 10 ]}

θ ₁₂ =13.04° ± 0.05°、θ ₁₃ =0.201° ± 0.011°、 θ ₂₃ =2.38° ± 0.06°

そして

δ ₁₃ =1.20 ± 0.08 ラジアン =68.8° ± 4.5°。

CKM行列の3番目のパラメータ化は、リンカーン・ウォルフェンシュタインによって、結合がない場合にはすべて「消滅」（ゼロになる） 4つの実数パラメータλ、A、ρ、ηを用いて導入されました。^{[ 11 ]}ウォルフェンシュタインの4つのパラメータはすべて1次であり、「標準」パラメータ化に関連しているという性質があります。

CKM行列のWolfensteinパラメータ化は、高次まで展開すれば望むだけの精度が得られるが、主に標準パラメータ化の便利な近似値を生成するために用いられる。λ 3次までの近似値は、^0.3 %以上の精度を持ち、以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

CP違反率はパラメータηに対応する。

CKM行列の前のセクションの値を使用すると、2008年時点でのWolfensteinパラメータ値の最良の決定は次のようになります。^{[ 6 ]}

λ =.22500 ± 0.0067、A = 0.826 +0.018 −0.015、ρ = 0.159±0.010、η = 0.348±0.010。