ブルンの定理

数論において、ブルンの定理は、双子素数（差が 2 である素数のペア）の逆数の和が、ブルンの定数と呼ばれる有限の値に収束することを述べています。ブルンの定数は通常、B _{2 （} OEISのシーケンスA065421）で表されます。ブルンの定理は1919 年にViggo Brunによって証明され、ふるい法の導入において歴史的な重要性を持っています。

双子素数の逆数の和の収束は、双子素数列の密度の上限から導かれる。p ≤ xでp + 2 も素数となる素数の数（つまり、小さい方の数が最大でxである双子素数の数）を とすると、 ${\displaystyle \pi_{2}(x)}$ ${\displaystyle \pi_{2}(x)}$

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

つまり、双子素数は素数よりも対数係数ほど少ない。この境界から、双子素数の逆数の合計が収束するという直感が得られる。言い換えれば、双子素数は小さな集合を形成する。具体的には、合計は

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

有限個の項を持つか、無限個の項を持つが収束するかのいずれかです。その値はブルン定数として知られています。

合計が発散した場合、その事実は双子素数が無限に存在することを意味します。双子素数の逆数の和は収束するため、この結果から双子素数が有限個または無限個存在すると結論付けることはできません。ブルンの定数は、双子素数が無限個存在する場合にのみ 無理数になる可能性があります。

この級数は極めてゆっくりと収束します。トーマス・ナイスリーは、最初の10億（10 ⁹）項を合計した後でも相対誤差は5%以上あると述べています。^[1]

^{10 14}までの双子素数を計算し（その過程でPentium FDIVのバグを発見し）、ナイスリーはブルンの定数を1.902160578と経験的に推定した。 ^{[1]ナイスリーは計算を1.6} × 10まで拡張した。2010 年 1 月 18 日現在 ^{15 件ですが、これはこの種の計算としては最大規模ではありません。}

^{2002年、パスカル・セバとパトリック・デミシェルは1016}までのすべての双子素数を用いてB2≈1.902160583104という推定値[2]を示した_。^{したがって} 、

^{最後のは、10 16}未満の双子素数の合計 1.830484424658... からの外挿に基づいています。ドミニク・クライヴは、条件付きで（未発表の論文で）B ₂  < 2.1754 であることを示しました（拡張リーマン予想を仮定）。無条件でB ₂ < 2.347であることが示されている 。^[3]

素数四つ子にもブルン定数があります。素数四つ子は、2 つの双子の素数のペアで、距離が 4 (最小の距離) 離れています。最初の素数四つ子は (5, 7, 11, 13)、(11, 13, 17, 19)、(101, 103, 107, 109) です。素数四つ子のブルン定数はB ₄で表され、すべての素数四つ子の逆数の合計です。

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

値:

B ₄  = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005、ナイスリーによれば99%の信頼水準を持つ誤差範囲。^[1]

この定数は、( p ,  p + 4)の形式の素数ペアであるいとこ素数のブルン定数( B ₄ とも表記)と混同しないでください。ウルフはブルン型和B _nが 4/ nであると推定しました。

（OEISのシーケンスA005597）を双子素数定数とします。すると 、${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

特に、

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

十分に大きいすべてのxに対して。 ${\displaystyle \epsilon >0}$

上記の多くの特殊なケースが証明されている。Jie Wuは、十分に大きいxに対して、

${\displaystyle \pi _{2}(x)\leq 3.3996\cdot 2C_{2}\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}}4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Brun定数の数字は、Nortel特許オークションで1,902,160,540ドルの入札に使用されました。この入札はGoogleによって行われ、数学定数に基づいたGoogleの3つの入札のうちの1つでした。^[4]さらに、この定数に関する学術研究の結果、最終的にPentium FDIVのバグがIntelの広報上の大失態となりました。^{[5] [6]}

• 素数の逆数の和の発散
• マイセル・メルテンス定数

• Weisstein、Eric W.「Brun の定数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ブランの定理」。マスワールド。
• PlanetMathの Brun 定数。
• Sebah、Pascal、Xavier Gourdon、「双子素数と Brun の定数計算入門」、2002 年。最新の詳細な検討。
• ウルフのブルン型和に関する論文