ベル型関数

ベル型関数、または単に「ベル曲線」とは、特徴的な「ベル」型の曲線を持つ数学関数のことです。これらの関数は通常、連続的または滑らかで、大きな負または正のxに対して漸近的にゼロに近づき、小さなxに対して単一の単峰性の最大値を持ちます。したがって、ベル型関数の積分は通常シグモイド関数になります。ベル型関数は一般的に対称的でもあります。

多くの一般的な確率分布関数はベルカーブである。

ガウス関数やコーシー分布の確率分布などのベル型の関数は、分散が減少してディラックデルタ分布に近づく関数の列を構築するために使用できます。^{[ 1 ]}実際、ディラックデルタは、分散がゼロに近づくベルカーブとしておおよそ考えることができます。

例としては以下のようなものがあります。

• ガウス関数とは、正規分布の確率密度関数のことです。これは典型的なベル型の関数であり、中心極限定理の結果として自然界で頻繁に見られます。

${\displaystyle f(x)=ae^{-(xb)^{2}/(2c^{2})}}$

• ファジー論理一般化メンバーシップベル型関数^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+\left|{\frac {xc}{a}}\right|^{2b}}}}$

• 双曲線正割。これはグーデルマン関数の導関数でもある。

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} (x)={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}$

• アグネージの魔女、コーシー分布の確率密度関数。これはまた、逆正接関数の導関数のスケーリング版でもある。

${\displaystyle f(x)={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}}$

• バンプ機能

${\displaystyle \varphi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}&|x|<b,\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}$

• レイズドコサイン分布やレイズドコサインフィルタのようなレイズドコサイン型

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\begin{cases}{\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\pi \right)\right]&{\text{for }}\mu -s\leq x\leq \mu +s,\\[3pt]0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• ほとんどの窓の機能はカイザー窓と同様です

• ロジスティック関数の導関数。これは双曲線正接関数の導関数をスケーリングしたものです。

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}}}$

• いくつかの代数関数。例えば

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x^{2})^{3/2}}}}$

• いくつかの対数関数。例えば

${\displaystyle f(x)=\log {\frac {x^{2}+e}{x^{2}+1}}.}$

• 
  sech( x )（青色）
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  アグネージの魔女
• 
  φ _{b (} b = 1の場合
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  レイズドコサインPDF
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  カイザーウィンドウ