ベーレンド配列

数論において、ベーレンド数列は、その倍数がほぼすべての整数を含む整数列である。この数列はフェリックス・ベーレンドにちなんで名付けられている。

が 1 より大きい整数の列であり、が の要素の正の整数倍の集合を表す場合、の自然密度が 1 であるとき、 はベーレンド列です。これは、に属する1 から までの整数の比率が、大きい の極限で1 に収束することを意味します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M(A)}$${\displaystyle n}$

素数はベーレンド数列を形成する。なぜなら、1より大きい整数はすべて素数の倍数だからである。より一般的には、素数の部分列は、その逆数の和が発散する場合に限りベーレンド数列を形成する。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

2つの素数の積である半素数もベーレンド数列を形成する。半素数の倍数でない唯一の整数は素数の累乗である。しかし、素数の累乗は密度が0であるため、その補数である半素数の倍数は密度が1である。^[1]

これらのシーケンスを特徴付ける問題は、1979年にポール・エルデシュによって「非常に困難」であると説明されました。 ^[2]

これらの数列は、1990年にリチャード・R・ホールによって「ベーレンド数列」と名付けられ、定義では自然密度の代わりに対数密度が使用されました。 ^[3]ホールは、ベーレンド数列について、の逆数の和は必ず発散することを証明したフェリックス・ベーレンドに敬意を表してこの名前を選びました。 ^[4]その後、ホールとジェラルド・テネンバウムは、対数密度の代わりに自然密度を使用してベーレンド数列を定義しました。^[5]この定義の違いは、どの数列がベーレンド数列であるかには関係ありません。なぜなら、ダベンポート・エルデシュの定理によれば、倍数の集合について、自然密度が1であることと対数密度が1であることは同等だからです。^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

がベーレンド列であるとき、任意の有限個の要素を省略することで別のベーレンド列を導くことができる。^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

あらゆるベーレンド列は、無限個のベーレンド列の互いに素な和集合に分解することができる。 ^[1]