原子判決

論理学と分析哲学において、原子文は、真か偽かのいずれか（命題、陳述、真理の担い手とも呼ばれる）であり、他のより単純な文に分解できない宣言文の一種です。たとえば、「犬は走った」は自然言語の原子文ですが、「犬は走って猫は隠れた」は自然言語の分子文です。

論理分析の観点から見ると、文の真偽は一般に、文の論理形式と単文の真偽という 2 つの要素によってのみ決定されます。つまり、たとえば、「ジョンはギリシャ人で、ジョンは幸せです」という文の真偽は、「および」の意味と、 「ジョンはギリシャ人です」および「ジョンは幸せです」という原子文の真理値の関数です。ただし、原子文の真偽は論理自体の範囲内の問題ではなく、原子文の内容がたまたま語っている芸術または科学の問題です。^[1]

論理学では、文法計算や述語計算などの人工言語が開発され、その目的の 1 つは、表面的な文法では基礎となる論理構造が隠されている可能性がある自然言語ステートメントの基礎となる論理を明らかにすることです。これらの人工言語では、原子文は自然言語の基本文を表すことができる記号の列であり、次のように定義できます。形式言語では、整形式式(または wff) は、言語の構文規則に従って構成された記号の列です。項は、変数、個別の定数、または n 桁の機能文字とその後に続く n 個の項です。原子式は、文文字または n 桁の述語文字とその後に続く n 個の項で構成される wff です。文は、任意の変数がバインドされている wff です。原子文は、変数を含まない原子式です。したがって、原子文には、論理接続子、変数、または量指定子は含まれません。1 つ以上の文と論理接続子で構成される文は、複合 (または分子) 文です。

次の例では:

• F、G、H を述語文字とする。
• a、b、c を個別の定数とする。
• x、y、z を変数とします。

これらの wff は原子文であり、自由変数や接続詞は含まれません。

• F (ア)
• G ( a、b ) は、
• H ( a、b、c )

これらの wff は原子式ですが、自由変数を含んでいるため文 (原子的またはそうでないもの) ではありません。

• F (バツ)
• G (ア、ズ)
• H ( x , y , z )

これらの wff は複文です。文ではありますが、原子式ではないため原子文ではありません。

• ∀ x ( F ( x ))
• ∃ z ( G ( a , z ))
• ∃ x ∀ y ∃ z ( H ( x , y , z ))
• ∀ x ∃ z ( F ( x ) ∧ G ( a , z ))
• ∃ x ∀ y ∃ z ( G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z ))

これらの WFF は複合式です。これらは原子式ではありませんが、論理接続子を使用して原子式から構築されています。また、自由変数が含まれているため文でもありません。

• F ( x ) ∧ G ( a , z )
• G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z )

文は、論理変数に値を割り当てる 解釈の下では真か偽のいずれかになります。たとえば、次のような割り当てを行うことができます。

個々の定数

• a: ソクラテス
• b: プラトン
• c: アリストテレス

述語

• Fα:αは寝ている
• Gαβ: αはβを憎む
• Hαβγ: αがβにγを攻撃させた

文変数

• p : 雨が降っています。

この解釈によれば、上で説明した文は次のような英語の文を表すことになります。

• p：「雨が降っています。」
• F ( a )：「ソクラテスは眠っています。」
• H ( b、a、c )：「プラトンはソクラテスにアリストテレスを殴らせた。」
• ∀ x ( F ( x )):「みんな寝てるよ。」
• ∃ z ( G ( a , z )): 「ソクラテスは誰かを憎んでいる。」
• ∃ x ∀ y ∃ z ( H ( x , y , z )): 「誰かが全員に誰かを殴らせた。」(全員が同じ人物 z を殴ったわけではないかもしれないが、全員が同じ人物 x のせいで殴ったのだ。)
• ∀ x ∃ z ( F ( x ) ∧ G ( a , z )):「みんなが眠っていて、ソクラテスは誰かを憎んでいます。」
• ∃ x ∀ y ∃ z ( G ( a , z ) ∨ H ( x , y , z )):「ソクラテスは誰かを憎んでいるか、誰かがみんなに誰かを殴らせるようにしたかのどちらかだ。」

自然言語の文は曖昧になりがちですが、文論理や述語論理の言語は正確です。翻訳により、このような曖昧さが明らかになり、意図した意味を正確に表現できます。

例えば、「テッド父はジャックとジルと結婚した」という英語の文章を考えてみましょう。これはジャックがジルと結婚したという意味でしょうか？翻訳では、次のような割り当てを行うかもしれません。 個々の定数

• a : テッド神父
• b : ジャック
• c : ジル

述語:

• M αβγ: αがβとγの結婚を司式した

これらの割り当てを使用すると、上記の文は次のように翻訳できます。

• M ( a、b、c ): テッド神父はジャックとジルの結婚式を執り行いました。
• ∃ x ∃ y ( M ( a , b , x ) ∧ M ( a , c , y )): テッド神父はジャックと誰かの結婚式を執り行い、テッド神父はジルと誰かの結婚式を執り行いました。
• ∃ x ∃ y ( M ( x , a , b ) ∧ M ( y , a , c )): 誰かがテッド神父とジャックの結婚式を執り行い、誰かがテッド神父とジルの結婚式を執り行いました。

「テッド神父はジャックとジルと結婚した」の正しい翻訳がどれであるかを確定するには、話し手に正確に何を意味しているかを尋ねる必要があるでしょう。

原子文は哲学的論理学や真理理論において特に興味深いものであり、対応する原子事実が存在すると主張されてきました。

原子文（あるいは原子文の意味）は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって要素命題と呼ばれ、バートランド・ラッセルによって原子命題と呼ばれています。

• 4.2 命題の意味とは、事態の存在と非存在の可能性に対するその命題の同意と不同意である。4.21 最も単純な種類の命題である要素命題は、事態の存在を主張する。—ウィトゲンシュタイン、論理哲学論考。
• 原子的事実を主張する命題（真または偽）は原子命題と呼ばれます。—ラッセル、「論理哲学論考入門」
• ラッセルとウィトゲンシュタインが論じた基本命題と原子命題については、^[2]と^[3]も参照のこと。

基本/原子命題と原子事実の違いに注意してください。

原子文は他の原子文から演繹されることはできない (他の原子文によって含意されない)、2 つの原子文は両立しない、原子文の集合は自己矛盾しない。ウィトゲンシュタインは、このことを『論理哲学論考』で詳しく述べた。原子文が存在するなら、真である事実に対応する「原子事実」が存在するはずであり、すべての真である原子文の連言は、事実であるすべて、すなわち「世界」を述べることになる。なぜなら、ウィトゲンシュタインによれば、「世界とは事実であるすべてである」からである (TLP:1)。同様に、原子文のすべての集合の集合は、すべての可能世界 (事実である可能性があるすべて) の集合に対応する。

アルフレッド・タルスキが提唱した真理理論を具体化したTスキーマは、原子文の真理から任意の文の真理を定義します。

• 論理定数

• ベンソン・メイツ『初等論理学』オックスフォード大学出版局、1972年。
• エリオット・メンデルソン『数学論理学入門』、Van Nostrand Reinhold Company、1964年。