大きさと距離について（アリスタルコス）

（太陽と月の大きさと距離）（古代ギリシャ語: Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης]、ローマ字表記:  Perì megethôn kaì） apostēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs] ）は、紀元前 310 ～ 230 年頃に生きた古代ギリシャの天文学者、サモスのアリスタルコスによって書かれた唯一の現存する著作として広く受け入れられています。この研究では、太陽と月の大きさ、および地球の半径に基づいた 地球からの距離を計算します。

この本はおそらくアレクサンドリアのパップスの数学講座の学生によって保存されていたと思われるが、その証拠はない。 1688年にジョン・ウォリスによって出版されたこの版本は、ヘンリー・サヴィル卿が編纂した中世の写本をいくつか利用している。^{[1]最も古いラテン語訳は1488年に}ジョルジョ・ヴァッラによってなされた。1572年にフレデリコ・コマンディーノがラテン語に翻訳し、解説をつけたものがある。^{[2] [3]}

この作品の手法はいくつかの観察に基づいています。

• 空における太陽と月の見かけの大きさ。
• 月食の際の月に対する地球の影の大きさ
• 半月のときの太陽と月の間の角度は90° です。

記事の残りの部分では、アリスタルコスの方法と結果の再構築について詳しく説明します。^[4] 再構築では、次の変数を使用します。

アリスタルコスは、半月のときに月が太陽と地球とともに直角三角形を形成するという前提から始めました。太陽と月の間の角度φ を観察することで、三角法の一種を使用して太陽と月までの距離の比率を推測できます。

図と三角法から、次の式が計算できます。

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

この図は誇張されている。なぜなら、実際にはS = 390 Lであり、φ は90° に極めて近いからである。アリスタルコスは、φ が直角より 30 分の 1 象限 (現代の用語では 3°) 小さいと判定した。現在の用語では 87° である。三角関数はまだ発明されていなかったが、アリスタルコスは ユークリッド風の幾何学的分析を用いて、

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

言い換えれば、太陽までの距離は月までの距離の 18 倍から 20 倍の間であった。この値 (またはそれに近い値) は、望遠鏡の発明により太陽視差のより正確な推定が可能になるまでの 2000 年間、天文学者によって受け入れられていた。

アリスタルコスはまた、太陽と月の角度の大きさは同じであるが、太陽までの距離は月よりも18～20倍遠いので、太陽は18～20倍大きいはずだと推論した。

その後アリスタルコスは月食に基づいた別の構成を使用しました。

三角形の相似性により 、 ${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

これら2つの式を割り、地球上の人間には太陽と月が同じ大きさに見えるという観察結果を用いると、 ${\displaystyle s/S=\ell /L}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

右端の方程式は次のように解くことができる。${\displaystyle \ell /t}$${\displaystyle s/t}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.}$

これらの式は、長さとを月の半径を単位として表し、とを 定義することで、より簡単に表すことができます。${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

上記の式は、月と太陽の半径を観測可能な量のみで表したものです。

次の式は、太陽と月までの距離を地球単位で表したものです。

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

ここで、θ は度単位で測定された月と太陽の見かけの半径です。

アリスタルコスはこれらの公式をそのまま使用したわけではありませんが、これらの公式はアリスタルコスの公式にかなり近いものと思われます。

上記の式は、アリスタルコスの結果を再構築するために使用できます。次の表は、n = 2、x = 19.1 ( φ = 87°)、θ = 1° を使用した長年の (しかし疑わしい) 再構築の結果と、現在受け入れられている値を示しています。

^[要出典]

この計算の誤差は、主にxとθの値が不正確であることから生じます。 θの値が不正確であることは特に驚くべきことです。なぜなら、アルキメデスは、アリスタルコスが太陽と月の見かけの直径が 0.5 度であると最初に判定した人物であると記しているからです。この場合、θの値は0.25 となり、月までの距離は地球半径の 80 倍となり、はるかに正確な推定値となります。この研究がアルキメデスと異なるのは、アリスタルコスの「太陰太陽直径は黄道帯の「メロス」の 1/15 である」という記述を、黄道帯の 1/15 (30°) を意味すると解釈したことが原因と思われます。ギリシア語の「メロス」が「部分」または 7°1/2 のいずれかを意味し、後者の 1/15 は 1°/2 であり、アルキメデスの証言と一致していることに気付いていないためです。

同様の手順は後にヒッパルコスによって使用され、月までの平均距離を地球半径の67倍と推定し、プトレマイオスはこの値を地球半径の59倍としました。

「サイズについて」の命題に関するインタラクティブなイラストがここにいくつかあります:

• 仮説 4 は、月が半分に見えるとき、太陽から月までの距離は 1 象限より 1 象限の 30 分の 1 小さくなる (つまり、90° より 90° の 30 分の 1 または 3° 小さくなり、したがって 87° になる) と述べています (Heath 1913:353)。
• 命題 1 は、2 つの等しい球は 1 つの同じ円筒に包含され、2 つの不等な球は小さい方の球の方向に頂点を持つ 1 つの同じ円錐に包含され、球の中心を通る直線は、円筒または円錐の表面が球に接する各円に対して直角であると述べています (Heath 1913:354)。
• 命題 2 は、球体がそれ自身よりも大きい球体によって照らされた場合、その球体の照らされた部分は半球体よりも大きくなることを述べています (Heath 1913:358)。
• 命題 3 は、太陽と月の両方を包含する円錐の頂点が私たちの目にあるとき、月の暗い部分と明るい部分を分ける円が最小になると述べています (Heath 1913:362)。
• 命題 4 は、月の暗い部分と明るい部分を分ける円は、月の大円と知覚できるほどの違いがないことを述べています (Heath 1913:365)。
• 命題 6 は、月は太陽よりも低い軌道を移動し、半分になったとき、太陽から 1 象限未満の距離にあると述べています (Heath 1913:372)。
• 命題 7 は、太陽から地球までの距離は、月から地球までの距離の 18 倍以上 20 倍未満であると述べています (Heath 1913:377)。言い換えると、太陽は月よりも 18 倍から 20 倍遠く、幅も広いということです。
• 命題 13 は、月の明るい部分と暗い部分を分ける円の直径の両端が動く円の円周のうち、地球の影に遮られる部分を結ぶ直線は、月の直径の 2 倍未満であるが、月の直径に対する比率は 88 と 45 の比率よりも大きいこと、また、太陽の直径の 9 分の 1 未満であるが、月の直径に対する比率は 21 と 225 の比率よりも大きいことを述べています。しかし、太陽の中心から軸に直角に引かれ、円錐の側面と交わる直線に対する比率は、979 と 10 125 の比率よりも大きい (Heath 1913:394)。
• 命題 14 は、地球の中心から月の中心までを結ぶ直線と、地球の影内の [円周] を定める直線によって月の中心に向かって軸から切り取られた直線との比が、675 が 1 に対して持つ比よりも大きいことを述べています (Heath 1913:400)。
• 命題15は、太陽の直径と地球の直径の比は19/3より大きく、43/6より小さいと述べている（Heath 1913:403）。これは、太陽が（平均して）6であることを意味する。+地球の3⁄4倍の幅、または太陽の13倍である。+地球の半径の1/2倍の広さ。月と太陽は20+2º の角度を成すには、地球から1 ⁄ 4と 387 地球半径の距離が必要です。
• アル＝トゥーシの中世アラビア語版『大きさについて』の命題17aは、（月が地球と太陽を含む円錐の軸上にあるとき（つまり、日食の真ん中にあるとき）の影円錐の頂点から月の中心までの距離と、地球の中心から月の中心までの距離の比が、71対37の比よりも大きく、3対1の比よりも小さいと述べている（Berggren & Sidoli 2007:218）。^[5]言い換えれば、地球の影円錐の先端は、108/37から月より4倍遠い距離にあるということである。

• アメリカ議会図書館のバチカン展。

• サモスのアリスタルコス
• エラトステネス（紀元前 276年頃 - 紀元前 194/195年頃）は、地球の円周と地球から太陽までの距離を計算したギリシャの数学者です。
• ヒッパルコス（紀元前 190年頃 ～紀元前 120年頃）は、太陽と月の半径と地球からの距離を測定したギリシャの数学者です。
• 大きさと距離について（ヒッパルコス）
• ポセイドニオス（紀元前 135年頃 - 紀元前 51年頃）は、地球の円周を計算したギリシャの天文学者および数学者です。

• ゴメス、アルベルト (2023)。アリスタルコスの解読。ベルリン：ピーター・ラング・フェルラーク。ISBN 9783631892619。
• ヒース、トーマス(1913)。『サモスのアリスタルコス、古代のコペルニクス』オックスフォード: クラレンドン。 これは後に再版されました。（ISBN 0-486-43886-4）を参照してください。 
• ヴァン・ヘルデン、A.宇宙の測定: アリスタルコスからハレーまでの宇宙の次元。シカゴ: 大学シカゴ市、1985年。ISBN 0-226-84882-5。