アンダーソンの定理

数学において、アンダーソンの定理は、実解析学と幾何学における帰結であり、n次元凸体K上の積分可能で対称な単峰性の非負関数fの積分は、 K が原点に向かって内側に移動しても減少しないというものである。 fのグラフは原点上の単一のピークを持つ丘と考えることができるため、これは自然な記述である。しかし、 n ≥ 2 の場合、証明は完全に自明ではない。なぜなら、物体Kの点xで、値f ( x ) がxの対応する移動よりも大きくなる可能性があるからである。

セオドア・ウィルバー・アンダーソンにちなんで名付けられたアンダーソンの定理は、確率論にも興味深い応用があります。

K をn次元ユークリッド空間R ⁿ上の凸体とし、原点の鏡映に関して対称とする。すなわちK  = − Kとする。f  :  R ⁿ → Rを非負で対称な大域的に 積分可能な関数とする。すなわち

• すべてのx  ∈  R ⁿに対してf ( x ) ≥ 0 である。
• すべてのx  ∈  R ⁿに対してf ( x ) = f (− x ) である。
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

また、 fのスーパーレベル集合 L ( f ,  t ) が次のように定義されるとする。

${\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},}$

は任意のt ≥ 0に対してR ⁿの凸部分集合である。 （この性質は単峰性 と呼ばれることもある。）すると、任意の0 ≤ c  ≤ 1およびy  ∈  R ⁿに対して 、

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.}$

確率空間(Ω, Σ, Pr)が与えられ、X  : Ω →  R ⁿが確率密度関数f  :  R ⁿ  → [0, +∞)を持つR ⁿ値のランダム変数であり、 Y  : Ω →  R ^{n が}独立ランダム変数であるとする。多くのよく知られた確率分布の確率密度関数は、あるpに対してp凹であり、したがって単峰性である。それらが対称でもある場合 (たとえば、ラプラス分布と正規分布)、アンダーソンの定理が適用され、その場合

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

任意の原点対称凸体K  ⊆  R ⁿに対して。

• ガードナー、リチャード J. (2002)。「ブルン・ミンコフスキー不等式」。アメリカ数学会誌 (NS) 39 ( 3): 355–405 (電子版)。doi : 10.1090 /S0273-0979-02-00941-2。