解析的に不分岐な環

代数学において、解析的不分岐環とは、完備化が簡約された（非零冪零を持たない） 局所環である。

次の環は解析的に非分岐です:

• 擬似幾何学的縮小リング。
• 優れた縮小リング。

Chevalley (1945) は代数多様体のすべての局所環は解析的に不分岐であることを示した。Schmidt (1936) は解析的に分岐した被約局所環の例を示した。Krull はすべての 1 次元正規ノイザン局所環は解析的に不分岐であることを示した。より正確には、1 次元正規ノイザン局所域が解析的に不分岐であるための必要十分条件は、その整閉包が有限加群である場合であることを示した。^[要出典]これにより、Zariski (1948) は、その整閉包が有限加群であるような局所ノイザン域は常に解析的に不分岐であるかどうかを問うようになった。しかし、Nagata (1955) は 2 次元正規の解析的に分岐したノイザン局所環の例を示した。Nagata はまた、Zariski の質問の少し強いバージョンが正しいことを示した。つまり、与えられたノイザン局所環Rのすべての有限拡大の正規化が有限加群である場合、R は解析的に不分岐である。

デイヴィッド・リース (1961) による、解析的に不分岐な環を特徴付ける古典的な定理が 2 つあります。1 つ目は、ネーター局所環 ( R、m ) が解析的に不分岐であるための必要十分条件は、m -主イデアルJと、となるシーケンスが存在することです。ここで、バーはイデアル の整閉包を意味します。2 つ目は、ネーター局所領域が解析的に不分岐であるための必要十分条件は、RとRの分数体Kの間にあるすべての有限生成R代数Sに対して、KにおけるSの整閉包がS上の有限生成加群であることです。2 つ目は 1 つ目の定理から従います。 ${\displaystyle n_{j}\to \infty }$${\displaystyle {\overline {J^{j}}}\subset J^{n_{j}}}$

K _{0 を}F _{2 の}ような標数2の完全体とする。Kを K 0 ₍ { u _n , v _n  : n ≥ 0})とする。ここでu _nとv _{n は}不定である。Tを、 KとK ²  [[ x , y ]] および元 Σ( u _n x ⁿ + v _n y ⁿ )によって生成される形式冪級数環K  [[ x , y ]]の部分環とする。永田は、 Tが正規局所ネーター整域であり、その完備化に非零冪零元が含まれることを証明しており、したがってTは解析的に分岐する。

• シュヴァレー、クロード(1945)、「代数多様体と代数多様体の交差」、Trans. Amer. Math. Soc.、57 : 1–85、doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0012458-1、JSTOR  1990167、MR  0012458
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006)、「イデアル、環、およびモジュールの積分閉包」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第336巻、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-68860-4、MR  2266432、2019-11-15にオリジナルからアーカイブ、2013-07-13に取得
• 永田 正義(1955)、「解析的に分岐する正規局所環の例」、 名古屋数学誌、9 :111-113、MR0073572
• Rees, D. (1961)、「解析的に非分岐な局所環に関する注記」、J. London Math. Soc.、36 : 24–28、MR  0126465
• Schmidt, Friedrich Karl (1936)、「Über die Erhaltung der Kettensätze der Idealtheorie bei beliebigen endlichen Körpererweiterungen」、Mathematische Zeitschrift、41 (1): 443–450、doi :10.1007/BF01180433
• ザリスキ、オスカー(1948)、「正規多様体の解析的既約性」、数学年報、2、49 :352–361、doi :10.2307/1969284 、MR  0024158
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1975）[1960]、可換代数。第2巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90171-8、MR  0389876