アーベルの和の公式

数学において、ニールス・ヘンリク・アーベルによって導入されたアーベルの和公式は、解析的整数論や級数を計算する特殊関数の研究で頻繁に使用されます。

Wikibooks には、解析的数論/有用な総和公式に関する本があります。

を実数または複素数の列とします。部分和関数を次のように 定義します。${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(t)=\sum _{0\leq n\leq t}a_{n}}$

任意の実数 に対して。実数 を固定し、を 上の連続微分可能関数とします。すると、次のようになります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x} ^{y}A(u)\phi '(u)\,du.}$

この式は、関数 および にリーマン・スティルチェス積分の部分積分を適用することによって 導出されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi}$

左端を とすると、次の式が得られます。 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{0}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

シーケンスがから始まるインデックスである場合、 を正式に定義できます。前の式は次のようになります。 ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle a_{0}=0}$

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}$

アーベルの和公式を適用する一般的な方法は、これらの公式の1つの極限を とすることです。結果として得られる公式は次のようになります。 ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A( x)\phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr ) }-\int _{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}}$

これらの方程式は、右側の両方の極限が存在し、有限である場合には常に成立します。

特に有用なケースは、すべての に対するシーケンスです。この場合、 です。このシーケンスでは、アーベルの和の公式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle A(x)=\lfloor x+1\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{0\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x+1\rfloor \phi (x)-\int _{0}^{x}\lfloor u+1\ rフロア \phi '(u)\,du.}$

同様に、 およびのすべての場合、式は次のようになる。 ${\displaystyle a_{0}=0}$${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\phi (n)=\lfloor x\rfloor \phi (x)-\int _{1}^{x}\lfloor u\rfloor \phi ' (u)\,du.}$

を極限とすると、 ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x+1\ rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{0}^{\infty }\lfloor u+1\rfloor \phi '(u)\,du,\\\sum _{n=1}^{\infty }\phi (n)&=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}\lfloor x\rfloor \phi (x){\bigr )}-\int _{1}^{\infty }\lfloor u\rfloor \phi '(u)\,du,\end{整列}}}$

右辺の両方の項が存在し、有限であると仮定します。

アーベルの和公式は、積分がリーマン・スティルチェス積分として解釈される場合にのみ連続であると仮定した場合に一般化できる。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\,d\phi (u).}$

をあるシーケンスに関連付けられた部分和関数とすると、部分和の式が得られます。 ${\displaystyle \phi }$

の場合、そして、式は ${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \phi (x)=1/x,}$${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.}$

左側は調和数 です。 ${\displaystyle H_{\lfloor x\rfloor }}$

複素数 を固定します。に対してとの場合、式は次のようになります 。${\displaystyle s}$${\displaystyle a_{n}=1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle \phi (x)=x^{-s},}$${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

の場合には、 としての極限が存在し、次の式が得られる。 ${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}$

ここで、はリーマンゼータ関数です。これは、 s = 1で留数 1を持つ単純な極を持つディリクレの定理を導くために使用できます。 ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

前の例の手法は、他のディリクレ級数にも適用できます。 がメビウス関数で の場合、はメルテンス関数で、 ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$${\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}$${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,du.}$

この式は に当てはまります。 ${\displaystyle \Re (s)>1}$

• 部分ごとの合計
• 部品ごとの統合

• アポストル、トム（1976）、解析的数論入門、数学の学部テキスト、シュプリンガー・フェアラーク。